Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 9
Encontre uma matriz que diagonaliza ortogonalmente e determine .
Passo 1
Ao nos depararmos com uma matriz grande como essa já dá um medinho, né? Mas nada de ficar assustado vamos destrinchar esse monstro aqui. Primeiramente vamos recorrer à equação característica de que irá nos fornecer os autovalores da respectiva matriz, essa equação é dada no teorema e descrita como
Assim, podemos escrever
Passo 2
Pois bem, agora podemos escrever a equação matricial
Que irá nos fornecer os autovetores correspondentes a cada autovalor dado. Dessa forma, teremos
Para os nossos primeiros autovalores vamos ter o seguinte sistema
Façamos as seguintes operações, na ordem mostrada, e vamos obter
Dessa forma, vamos encontrar autovetores que serão dados por
Passo 3
Agora, para os nossos últimos autovalores vamos ter o seguinte sistema
Façamos as seguintes operações, na ordem mostrada, e vamos obter
Dessa forma, vamos encontrar autovetores que serão dados por
Passo 4
Pois bem, agora para encontrarmos a matriz que diagonaliza nossa matriz basta normalizarmos cada uns dos vetores (dividindo cada elemento do vetor pela sua norma) encontrados acima. Dessa forma vamos achar
Pois bem, agora que encontramos a matriz que diagonaliza nossa matriz fica bastante simples encontrarmos quem é a matriz pois ela será uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal serão os autovalores encontrados nos passos anteriores. Então, temos
Finalmente acabamos com esse monstro que era essa questão.