Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 16
16. (Reque Indução Matemática) Sejam uma matriz e um vetor unitário em e defina a sequência por
Prove, por indução, que .
Passo 1
A prova por indução é a gente considerar que pra tal afirmação é verdade e provar que pra também é verdade.
Então:
Isso já é tomado como verdade.
Passo 2
Agora, temos da sequência:
E já temos como verdade:
Então:
(vamos ter que chegar nesse resultado quando manipularmos a parte da indução e tals)
Passo 3
Agora entra a parte da indução pra provar...
A gente pode ir mexendo:
Bem... vamos puxar um pouco e lembrar que:
E o mais puxado ainda é lembrar que:
Daí fica demonstrado que:
Resposta
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Seja F : U → V uma transformação linear com a seguinte propriedade: se { u 1 , … , u n } é uma base de U , então F u 1 , … , F u n é linearmente independente em V. Provar que F é injetora.
Verifique se são operadores lineares no espaço P n ( R ) : F : P n R → P n ( R ) tal que F f t = t f ' t , ∀ f t ∈ P n ( R ) ; F : P n R → P n ( R ) tal que F f t = t f ' t + t 2 f ' ' t , ∀ f t ∈ P n
Verifique se são operadores lineares no espaço P n ( R ) : F : P n R → P n ( R ) tal que F f t = t f ' t , ∀ f t ∈ P n ( R ) ; F : P n R → P n ( R ) tal que F f t = t f ' t + t 2 f ' ' t , ∀ f t ∈ P n
Seja A uma matriz fixa de M n R . Mostrar que F : M n R → M n R dada por F X = X A - A X , ∀ X ∈ M n R , é linear.Se A = λ I n com λ ∈ R , o que é F ?
Seja u = x , y , z , t um vetor genérico do R 4 . Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do R 4 ? F u = u + 1,0 , 1,0 ; F u = 1,0 , 1,1 ; F u = x , y - z , y + z , x + t ; F u =