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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 5

Encontre uma mudança de variáveis ortogonal que elimine os termos mistos da forma quadrática Q e expresse Q em termos das novas variáveis.

Q = 2 x 1 2 + 2 x 2 2 - 2 x 1 x 2

Passo 1

Temos que a forma quadrática associada a A é

Q a x = x T A x

As entradas diagonais de A são coeficientes quadrados e as entradas fora da diagonal são metade dos coeficientes de produtos cruzados, então, temos que

Q a x = 2 x 1 2 + 2 x 2 2 - 2 x 1 x 2

Colocando na forma matricial teremos

Q a x = x 1 x 2 ⋅ 2 - 1 - 1 2 ⋅ x 1 x 2

Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 λ - 2 - 1 - 1 2 = det ⁡ λ - 2 1 1 λ - 2

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 2 - 4 λ + 3

Cujas raízes são λ 1 = 3   e   λ 2 = 1

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 2 1 1 λ - 2 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = 3 vamos obter o seguinte sistema

1 1 1 1 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

L 2 - L 1 → L 2

→ 1 1 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 1 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 + x 2 = 0 → x 2 = - x 1

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

1 - 1

Passo 3

Procedendo da mesma forma para o segundo autovalor λ 2 = 1 vamos obter o seguinte sistema

- 1 1 1 - 1 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

L 2 + L 1 → L 2 ,   - L 1 → L 1

→ 1 - 1 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 - 1 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 - x 2 = 0 → x 2 = x 1

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

1 1

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Gram-Schmidt para cada uma dessas bases para obter bases ortonormais para os auto espaços. Então teremos

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 1 2 + | - 1 | 2 ⋅ 1 - 1 = 1 2 ⋅ 1 - 1 = 1 2 - 1 2

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 1 2 + | 1 | 2 ⋅ 1 1 = 1 2 ⋅ 1 1

v 2 = 1 2 1 2

Portanto a matriz ortonormal P será dada por

P = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

Passo 5

Agora, vamos utilizar o teorema 7 que trata da mudança de variáveis fazendo

x = P y → x 1 x 2 = 1 2 1 2 - 1 2 1 2 ⋅ y 1 y 2

A nova forma quadrática vai ser dada por

Q = y T ⋅ P T A P y

Como temos que P é uma matriz ortonormal vamos ter que P T A P = D onde D é a matriz diagonal dada por

D = 3 0 0 1

Então nossa forma quadrática nova será dada por

Q = y 1 y 2 ⋅ 3 0 0 1 ⋅ y 1 y 2

Q = 3 ⋅ y 1 + y 2 ⋅ 0 y 1 ⋅ 0 + y 2 ⋅ 1 ⋅ y 1 y 2

Q = 3 y 1 ⋅ y 1 + y 2 ⋅ y 2 → Q = 3 y 1 2 + y 2 2

Resposta

Q = 3 y 1 2 + y 2 2

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