Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.Exercícios Suplementares - Ex. 7
7. Classifique a forma quadrática
Como positiva, negativa, indefinida, não negativa ou não positiva.
Passo 1
Vamos primeiro montar a forma matricial pra :
Fazendo isso, ficamos com:
E comparando termo a termo:
Então a forma matricial fica:
Passo 2
Agora vamos achar os autovalores.
Pra achar a equação característica:
Os autovalores são:
Nâo deu muito bom porque precisamos saber se os autovalores são positivos ou não...
Mas vamos pensar um tiquinho...
Um dos auto valores nós já sabemos que é positivo, que é o:
Passo 3
Agora precamos analisar o:
Você pode só usar a calculadora e ver que e ver que vai ser positivo, maaaas e se não tiver calculadora? Vou dar uma dicazinha de como pensar (é meio mágica, mas calma que vou tentar explicar bonitinho).
Se você multiplicar pelo conjugado em cima e embaixo (lembrando que a gente faz isso e não muda em nada o valor da expressão, ne)
Ficamos com:
Um número positivo divido por outro positivo dá um número positivo. Então também é positivo.
Sendo assim, como os dois autovalores são positivos, então a forma quadrátiva é positiva.
Resposta
Sendo assim, como os dois autovalores são positivos, então a forma quadrátiva é positiva.