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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 15

Os vetores v 1 = 1 , - 2,3 e v 2 = 0,5 , - 3 são linearmente independentes. Aumente v 1 , v 2 até uma base de R 3 .

Passo 1

Sabemos de antemão que o espaço R 3 tem dimensão 3, logo, precisamos de 3 vetores para poder termos uma base para ele. Sendo assim, como dois vetores já nos foram dados, tomemos um terceiro vetor genérico x , y , z de tal forma que seja linearmente independente com os outros dois, ou seja, deve satisfazer a seguinte equação

a ⋅ 1 , - 2,3 + b ⋅ 0,5 , - 3 + c ⋅ x , y , z = 0,0 , 0

Cuja única solução deve ser a solução trivial. Assim, temos o seguinte sistema de equações

a + c x = 0 - 2 a + 5 b + c y = 0 3 a - 3 b + c z = 0

Que pode ser escrito sob a forma de notação matricial como sendo

1 0 x - 2 5 y 3 - 3 z ⋅ a b c = 0 0 0

Passo 2

A partir do sistema em notação matricial dado acima vamos fazer as seguintes manipulações

1 0 x - 2 5 y 3 - 3 z → L 2 + 2 L 1 → L 2 , L 3 - 3 L 1 → L 3

1 0 x 0 1 2 x 5 + y 5 0 - 3 z - 3 x → L 2 - 2 L 3 - L 2

1 0 x 0 1 2 x 5 + y 5 0 0 - 9 x + 3 y + 5 z 5 ⋅ a b c = 0 0 0

→ a = b = c = 0

O sistema de equações só admitirá a solução trivial se

- 9 x + 3 y + 5 z 5 ≠ 0

Logo o vetor a ser acrescentado no conjunto v 1 , v 2 será o vetor x , y , z tal que - 9 x + 3 y + z 5 ≠ 0 .

Resposta

O vetor a ser acrescentado no conjunto v 1 , v 2 será o vetor x , y , z tal que - 9 x + 3 y + 5 z 5 ≠ 0 .

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