Os vetores v 1 = 1 , - 2,3 e v 2 = 0,5 , - 3 são linearmente independentes. Aumente v 1 , v 2 até uma base de R 3 .

O vetor a ser acrescentado no conjunto v 1 , v 2 será o vetor x , y , z tal que - 9 x + 3 y + 5 z 5 ≠ 0 .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 15

Os vetores e são linearmente independentes. Aumente até uma base de .

Passo 1

Sabemos de antemão que o espaço tem dimensão 3, logo, precisamos de 3 vetores para poder termos uma base para ele. Sendo assim, como dois vetores já nos foram dados, tomemos um terceiro vetor genérico de tal forma que seja linearmente independente com os outros dois, ou seja, deve satisfazer a seguinte equação

Cuja única solução deve ser a solução trivial. Assim, temos o seguinte sistema de equações

Que pode ser escrito sob a forma de notação matricial como sendo

Passo 2

A partir do sistema em notação matricial dado acima vamos fazer as seguintes manipulações

O sistema de equações só admitirá a solução trivial se

Logo o vetor a ser acrescentado no conjunto será o vetor tal que .

Resposta

O vetor a ser acrescentado no conjunto será o vetor tal que .

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Considere o subespaço de R 3 gerado pelos vetores v 1 = ( 1,1 , 0 ) , v 2 = ( 0 , - 1,1 ) e v 3 = ( 1,1 , 1 ) . v 1 , v 2 , v 3 = R 3 ? Por quê?

Use o exercício 17 para exibir uma base para o subespaço S , definido no Exercício 6. Qual é a dimensão de S ?

Considere o sistema linear: S = 2 x 1 + 4 x 2 - 6 x 3 = a x 1 - x 2 + 4 x 3 = b 6 x 2 - 14 x 3 = c Seja W = { x 1 , x 2 , x 3 ∈ R 3 : x 1 , x 2 , x 3és o l u ç ã od e( S ) } é çã . Isto é, W é o conju

Mostre que, se V = W 1 ⊕ W 2 e α = { v 1 , … , v k } é a base de W 1 , β = { w 1 , … , w r } é a base de W 2 então γ = { v 1 , … , v k , w 1 , … , w r } é base de V .Mostre com um exemplo que o result

Seja U o subespaço do R 3 , gerado por ( 1,0 , 0 ) e W o subespaço de R 3 , gerado por 1,1 , 0e( 0,1 , 1 ) . Mostre que R 3 = U ⊕ W .