Enunciado

6. Em cada caso, expresse a forma quadrática em notação matricial x T A x .

(a) - 4 x 1 2 + 15 x 2 2 - 15 x 1 x 2

(b) 9 x 1 2 - x 2 2 + 4 x 3 2 + 6 x 1 x 2 - 8 x 1 x 3 + x 2 x 3

Passo 1

(a) - 4 x 1 2 + 15 x 2 2 - 15 x 1 x 2

Vamos montar aquele formato matricial bem geralzão pra R 2 :

x T A x = x 1 x 2 a 1 a 3 a 3 a 2 x 1 x 2

Fazendo isso, ficamos com:

x T A x = a 1 x 1 2 + a 2 x 2 2 + 2 a 3 x 1 x 2

E comparando termo a termo:

a 1 = - 4

a 2 = 15

2 a 3 = - 15

a 3 = - 15 2

Então a forma matricial fica:

x T A x = x 1 x 2 - 4 - 15 2 - 15 2 - 15 2 x 1 x 2

Passo 2

(b) 9 x 1 2 - x 2 2 + 4 x 3 2 + 6 x 1 x 2 - 8 x 1 x 3 + x 2 x 3

Agora montamos a forma pra R 3 :

x T A x = x 1 x 2 x 3 a 1 a 4 a 5 a 4 a 2 a 6 a 5 a 6 a 3 x 1 x 2 x 3

Fazendo isso, ficamos com:

x T A x = a 1 x 1 2 + a 2 x 2 2 + a 3 x 3 2 + 2 a 4 x 1 x 2 + 2 a 5 x 1 x 2 + 2 a 6 x 2 x 3

E comparando termo a termo:

a 1 = 9

a 2 = - 1

a 3 = 4

2 a 4 = 6

a 4 = 3

2 a 5 = - 8

a 5 = - 4

2 a 6 = 1

a 6 = 1 2

Então a forma matricial fica:

x T A x = x 1 x 2 x 3 9 3 - 4 3 - 1 1 2 - 4 1 2 4 x 1 x 2 x 3

Resposta

(a) x T A x = x 1 x 2 - 4 - 15 2 - 15 2 - 15 2 x 1 x 2

(b) x T A x = x 1 x 2 x 3 9 3 - 4 3 - 1 1 2 - 4 1 2 4 x 1 x 2 x 3

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