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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 2

Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição x² + y² = 1 e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos.

x y

Passo 1

Mais uma vez bora escrever essa equação na famosa notação matricial que é a forma:

x T A x

Onde temos:

x = x 1   x 2  

E como temos nosso A :

A = 0   1 2   1 2   0    

Da onde eu tirei esse A ! Vou te contar, bora lá...

Os termos da diagonal principal da matriz A são os próprios coeficientes de x 2 e de y 2 , ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Beleza, a gente tem x 2 e y 2 nessa equação aí? Nãaaaao, então a diagonal é 0 .

Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz A são a metade dos coeficientes do termo misto x y , ou seja, 1 / 2 , se a equação fosse sei lá 10 x y aí esses termos seriam 5 porque 10/2 = 5, sacou? Isso aí!

Passo 2

Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:

d e t   λ I - A = 0  

Bora calcular esse negócio juntos! d e t d e t   λ   0   0   λ   - 0   1 2   1 2   0     = 0

d e t λ   - 1 2   - 1 2   λ   = 0

λ 2 - 1 4 = 0

Passo 3

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

λ 2 - 1 4 = 0

Se liga, podemos escrever essa equação assim à partir da diferença de quadrados:

( λ - 1 2 ) ( λ + 1 2 ) = 0

Pronto, agora ficou mole saber quem são nosso autovalores:

λ 1 = 1 2                       λ 2 =   - 1 2

Passo 4

Agora conseguimos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor! Da definição de autovetor, temos:

λ I - A x = 0

Portanto, para λ 1 = 1 2 temos:

Continuando galera, estamos conseguindo! Temos os autovalores, então conseguimos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor! Da definição de autovetor, temos:

λ I - A x = 0

Portanto, para λ 1 = 1 2 temos:

1 2   0   0   1 2   - 0   1 2   1 2   0   x 1   x 2   = 0

1 2   - 1 2   - 1 2   1 2   x 1   x 2   = 0

Portanto, temos que:

1 2 . x 1 - 1 2 . x 2 = 0

x 1 = x 2

Portanto o autovetor correspondente ao autovalor λ 1 = 1 2 é:

x 1 = 1   1  

Para λ 2 = - 1 2 temos:

- 1 2   0   0   - 1 2   - 0   1 2   1 2   0   x 1   x 2   = 0

- 1 2   - 1 2   - 1 2   - 1 2   x 1   x 2   = 0

Portanto, temos que:

- 1 2 . x 1 - 1 2 . x 2 = 0

- x 1 = x 2

Portanto o autovetor correspondente ao autovalor λ 1 = - 1 2 é:

x 2 = - 1   1  

Passo 5

É isso galera, encontramos os autovetores, agora precisamos normalizar ambos! Então, normalizando o vetor x 1 , temos:

u 1 = x 1 ‖ x 1 ‖ = 1   1   ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 = 1 2 . 1   1   = 1 2   1 2  

Normalizando o vetor x 2 , temos:

u 2 = x 2 ‖ x 2 ‖ = - 1   1   ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 = 1 2 . - 1   1   = - 1 2   1 2  

Portanto, o nosso máximo condicionado é 1 2 (nosso maior autovalor) e ocorre quando ( x ,   y )   =   ( 1 2 , 1 2 ) e o nosso mínimo condicionado é - 1 2 (nosso menor autovalor) e ocorre quando ( x , y )   =   ( - 1 2 ,     1 2 ) !

Resposta

Mais uma questão derrotada pra conta:

Nosso máximo condicionado é 1 2 (nosso maior autovalor) e ocorre quando ( x ,   y )   =   ( 1 2 , 1 2 ) e o nosso mínimo condicionado é - 1 2 (nosso menor autovalor) e ocorre quando ( x , y )   =   ( - 1 2 ,     1 2 ) !

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