Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 24
24 (a) Encontre um sistema linear homogêneo de duas equações em três incógnitas cujo espaço de soluções consista em todos os vetores em ortogonais a a=(-3,2,-1) e b=(0,-2,-2).
(b) O espaço das soluções é que tipo de objeto geométrico?
(c) Encontre uma solução geral do sistema obtido na parte (a) e confirme a validade do Teorema 3.4.3.
Passo 1
a)
Um sistema linear homogêneo de duas equções em três incógnitas é da forma:
Podemos reescrever o sistema, como um produto escalar, dessa forma:
Concluimos disso que os vetores soluções são ortogonais as vetores e , ou seja, só precisamos definir esses vetores como sendo os dados no enunciado.
e
Assim, os vetores e são ortogonais as espaço de soluções desse sistema. O sistema pode ser escrito dessa forma:
Passo 2
b)
Essas são equações de dois planos diferentes , ou seja, a solução desse sistema é a interseção dos dois planos.
E a interseção de dois planos é uma reta, desse forma, o espaço das soluções do sistema formam retas.
Passo 3
c)
Precismos de uma solução geral desse sistema:
Como temos duas equações e três incógnitas vamos precisar de uma variável livre para resolver o sistema.
Vamos definir como sendo a variável livre:
E agora vamos isolar na segunda equação:
Ou seja,
Agora, vamos substituir esses resultados na primeira equação:
Escrevendo na forma vetorial:
Esse vetor solução deve ser ortogonal aos vetores linha dos coeficientes, vamos testar:
Para o primeiro vetor linha deu certo.
E para o segundo vetor linha também deu certinho, ou seja o Teorema 3.4.3 deu certo.
Resposta
a)
b)
Essas são equações de dois planos diferentes , ou seja, a solução desse sistema é a interseção dos dois planos.
E a interseção de dois planos é uma reta, desse forma, o espaço das soluções do sistema formam retas.