Enunciado

Seja B uma matriz quadrada 2 × 2 .

a) Verifique que R θ B é a matriz obtida girando as colunas de B de θ .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para esta questão vamos utilizar a definição de uma matriz rotação como:

R θ = cos ⁡ ( θ ) - sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) .

E, para esta alternativa, uma matriz quadrada da forma:

B = B 11 B 12 B 21 B 22 .

Vamos lá então!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é o produto matricial sugerido na questão, temos que:

R θ B = cos ⁡ ( θ ) - sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) B 11 B 12 B 21 B 22 .

Obtemos

R θ B = cos ⁡ ( θ ) B 11 - sin ⁡ θ B 21 cos ⁡ ( θ ) B 12 - sin ⁡ θ B 22 sin ⁡ ( θ ) B 11 + cos ⁡ ( θ ) B 21 sin ⁡ θ B 12 + cos ⁡ ( θ ) B 22           ( 1 ) .

Mas como vamos utilizar isso para verificar o que se pede no enunciado? Saca só!

Passo 3

Se considerarmos que as colunas da matriz quadrada B são vetores da forma:

B 1 = B 11 B 21 .

E

B 2 = B 12 B 22 .

Podemos verificar o pedido, se aplicarmos uma rotação a estes vetores individualmente e verificar se eles formam as colunas do produto matricial dado na equação (1). Bora lá!

Passo 4

Para o primeiro vetor temos:

R θ B 1 = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ B 11 B 21

Aplicando o produto matricial, temos:

R θ B 1 = cos ⁡ ( θ ) B 11 - sin ⁡ θ B 21 sin ⁡ ( θ ) B 11 + cos ⁡ ( θ ) B 21           ( 2 )

E para o segundo vetor, temos:

R θ B 2 = cos ⁡ θ - sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ B 12 B 22

Ou seja,

R θ B 2 = cos ⁡ ( θ ) B 1 2 - sin ⁡ θ B 22 sin ⁡ ( θ ) B 1 2 + cos ⁡ ( θ ) B 22           ( 3 )

Como (2) e (3) são as colunas de (1), temos que a afirmação do enunciado está verificada! Bora para a próxima alternativa!

Resposta

Ao longo dos passos

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Encontre o ponto P , se as coordenadas de P em relação ao sistema de coordenadas S , [ P ] S , são:a) [ P ] S = ( 2,1 ) , em que S = { O , ( - 1 / 2 , 1 / 2 ) , ( 1 / 2 , 1 / 2 ) } .
Considere o plano π : 3 x - 3 y + 2 z = 0 .c) Determine as coordenadas dos vetores i → , j →ek → no sistema { O , U 1 , U 2 , U 3 } .
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Mostre quea) R_theta_1 R_theta_2 = R_theta_1 + theta_2 .