Enunciado

Encontre o ponto P , se as coordenadas de P em relação ao sistema de coordenadas S , [ P ] S , são:

a) [ P ] S = ( 2   ,   1 ) , em que S = { O , ( - 1 / 2 , 1 / 2 ) , ( 1 / 2 , 1 / 2 ) } .

Passo 1

Eaew, tudo em cima contigo hoje?

Para resolver essa questão é bom dar uma relembrada em como fazemos uma mudança de coordenadas pela notação matricial, nós temos que:

[ P ] S = Q t [ P ] { O , E 1 , E 2 }

Ou seja, o ponto no sistema de coordenadas S , relacionado ao ponto na base canônica e uma matriz Q que é construída em termos do vetor de base do novo sistema de coordenadas, vamos usar os dados do enunciado nesta expressão, beleza?

Passo 2

Nós temos então que

Fazendo o produto matricial temos que

Isso nos dá um sistema de equações lineares que podemos resolver, bora fazer isso!

Passo 3

O sistema é tal que temos a equação:

2   =   - x 0 2 + y 0 2           ( 1 )

e

1   =   x 0 2 + y 0 2           ( 2 )

Da equação (1) temos que

y 0 2 = 2 + x 0 2           ( 3 )

e, portanto, a equação (2) nos dá:

1   =   x 0 2 + 2 + x 0 2 → - 1 = 2 x 0 2 → x 0 = - 2 2

Usando este resultado em (3), temos:

y 0 2 = 2 - 1 2 2 2 = 2 - 1 2 = 4 - 1 2 = 3 2 → y 0 = 3 2 / 2

Portanto, temos o ponto P = ( - 2 / 2,3 2 / 2 ) . A alternativa foi isso, vamos para a próxima!

Resposta

P = ( - 2 / 2,3 2 / 2 )

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