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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.4 - Ex. 7a

Mostre que

a) R_theta_1 R_theta_2 = R_theta_1 + theta_2 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Para resolver esta questão vamos aplicar duas rotações sucessivas em sua notação matricial e ver o que acontece, beleza? A rotação é da seguinte forma em duas dimensões:

[[[x^'],[y^']]] = R_(theta)^t [[[x],[y]]] = [[[cos theta,sin theta],[-,sin theta,cos theta]]] [[[x],[y]]] .

Bora lá então!

Passo 2

Nós temos então o seguinte:

[[[x^'],[y^']]] = [[[cos theta_1,sin theta_1],[-,sin theta_1,cos theta_1]]] [[[x],[y]]] .

E também:

[[[x^'],[y^']]] = [[[cos theta_2,sin theta_2],[-,sin theta_2,cos theta_2]]] [[[x],[y]]] .

De forma que:

R_theta_1 R_theta_2 = [[[cos theta_1,sin theta_1],[-,sin theta_1,cos theta_1]]] [[[cos theta_2,sin theta_2],[-,sin theta_2,cos theta_2]]]

Lembre que quando estamos mexendo com matrizes a ordem importa, belezinha? Vamos fazer esse produto matricial e ver o que dá! Saca só!

Passo 3

Temos que:

R_theta_1 R_theta_2 = [[[cos theta_1,cos theta_2,-,sin theta_1,sin theta_2,cos theta_1,sin theta_2,+,sin theta_1,cos theta_2],[-,sin theta_1,cos theta_2,-,cos theta_1,sin theta_2,-,sin theta_1,sin theta_2,+,cos theta_1,cos theta_2]]]

O segredo aqui agora é utilizar algumas identidades trigonométricas, saca só!

Passo 4

Nós temos que:

sin (A +- B) = sin A cos B +- sin B cos A

E também que

cos (A +- B) = cos A cos B ∓ sin A sin B

No cosseno o sinal é trocado mesmo! Não é erro de digitação, beleza? Vamos ver se conseguimos identificar algo na nossa matriz original!

Passo 5

Usando as definições que apresentei acima, temos:

R_theta_1 R_theta_2 = [[[cos ( theta_1 + theta_2 ),sin ( theta_1 + theta_2 )],[-,sin ( theta_1 + theta_2 ),cos ( theta_1 + theta_2 )]]]

Aí está! Demonstrado! Vamos para a próxima alternativa!

Resposta

Ao longo dos passos

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 5-8, use a equação da reta dada para encontrar um ponto na reta e um vetor paralelo à reta.5. x = ( 3 - 5 t , - 6 - t )
Mostre queb) R_(theta)^(- 1) = R_- theta .
Seja B uma matriz quadrada 2 × 2 .b) Verifique que B R θ é a matriz obtida girando as linhas de B de - θ .
Definimos coordenadas de pontos no espaço em relação a um sistema de coordenadas determinado por um ponto O ' e três vetores V 1 ,V 2 e V 3 L . I . não necessariamente ortonormais do R 3 da mesma form
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