Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 17

Um retângulo centrado na origem com lados paralelos aos eixos coordenados deve ser inscrito na elipse x 2 + 25 y 2 = 25 . Use o método do exemplo 2 para encontrar os valores não negativos de x e y que produzam o retângulo inscrito de maior área.

Passo 1

Primeiramente vamos reescrever a nossa equação da elipse fazendo

x 2 + 25 y 2 = 25 → x 2 25 + y 2 = 1 → x 5 2 + y 2 = 1

Agora vamos definir duas novas variáveis x 1   e   y 1 através das equações

x = 5 x 1 ,   y = y 1

Então

z = 20 x 1 y 1

Reescrevendo nossa equação da elipse com as novas variáveis e ignorando os índices para facilitar a visualização vamos ter

x 2 + y 2 = 1

Para resolvermos o problema vamos escrever z na forma quadrática em notação matricial

z = x T A x = x 1 y 1 ⋅ 0 10 10 0 ⋅ x 1 y 1

Passo 2

Devemos nos lembrar que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 λ - 0 10 10 0 = det ⁡ λ - 10 - 1 0 λ

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 2 - 100

Cujas raízes são λ 1 = 10   e   λ 2 = - 1 0 .

Passo 3

Pois bem, devemos nos lembrar que para encontrar os auto vetores que correspondem aos autovalores, resolvemos um sistema não trivial dado por

λ I - A ⋅ x = 0

Na notação matricial fica sendo

λ - 10 - 10 λ ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Para o primeiro autovalor λ 1 = 10 vamos obter o seguinte sistema

10 - 10 - 10 10 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

L 2 + L 1 → L 2 ,     L 1 10 → L 1

→ 1 - 1 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 - 1 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 - x 2 = 0 → x 2 = x 1

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

1 1

Passo 4

Procedendo da mesma forma para o segundo autovalor λ 2 = - 1 0 vamos obter o seguinte sistema

- 1 0 - 1 0 - 1 0 - 1 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

Façamos, então, as seguintes operações

L 2 - L 1 → L 2 ,     - L 1 10 → L 1

→ 1 1 0 0

Então temos o seguinte sistema

1 1 0 0 ⋅ x 1 x 2 = 0 0

x 1 + x 2 = 0 → x 1 = - x 2

Assim, teremos o seguinte auto vetor associado ao primeiro autovalor

- 1 1

Passo 5

Normalizando esse vetor vamos ter

v 1 = x 1 x 1

v 1 = 1 1 2 + | 1 | 2 ⋅ 1 1 = 1 2 ⋅ 1 1 = 1 2 1 2

Procedendo de maneira igual para v 2 teremos

v 2 = x 2 x 2 = 1 1 2 + | 1 | 2 ⋅ - 1 1 = 1 2 ⋅ - 1 1

v 2 = - 1 2 1 2

Consequentemente teremos que z terá área máxima 10 e isso ocorre quando

x = 5 x 1 = 5 ⋅ 1 2 = 5 2

y = y 1 = 1 2

Ou seja, nossa área máxima será z = 10 e ocorrerá quando x , y = 5 2 , 1 2 .

Resposta

Nossa área máxima será z = 10 e ocorrerá quando x , y = 5 2 , 1 2 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o método do Exemplo 2 para encontrar os valores máximo e mínimo de, x y sujeita à restrição 4 x ² + 8 y ²= 16 ² ²
Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição x 2 + y 2 + z 2 = 1 e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos. 2 x ² + y ²+ z ² + 2 x y + 2 x
Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição, x ²+y ² =1 ² ² e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos. 5 x ²+5 x y ²
Mostre que a função f x , y =4 x y - x 4 - y 4 tem pontos críticos em 0 ,0 ,( 1 ,1 ) e ( - 1 ,- 1 ) . Use a forma hessiana do teste da derivada segunda para mostrar que f tem máximos relativos em ( 1
Esboce o círculo unitário e as curvas de nível correspondentes à forma quadrática dada. Mostre que o círculo unitário intersecta cada uma dessas curvas em exatamente dois pontos e verifique que os ext