Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 5
Encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática dada sujeita à restrição
x² + y² + z² = 1
e determine os valores de x, y e z nos quais ocorrem esses extremos.
Passo 1
Essa questão é mamão com açúcar! Pega na minha mão que eu te mostro o caminho, primeiro vamos colocar a equação nesse formato aqui:
Onde:
e :
Na verdade cagamos pro porque quem vai nos ajudar a matar a questão é a matriz . Você pode estar se perguntando da onde eu tirei esse , então vou explicar:
Os termos da diagonal principal da matriz A são os próprios coeficientes de , e , ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Isso quer dizer que , e .
Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz são a metade dos coeficientes do termo misto , ou seja, porque nem tem na nossa equação.
Passo 2
Bom pra matar essa questão precisamos de duas coisas: dos autovalores e dos autovetores da matriz A. Bom, como A é uma matriz vertical (só tem termos na vertical, o resto é tudo zero!!!) já sabemos nossos autovalores? Como? Simples! Numa matriz vertical os autovalores são os termos da vertical!!!
Então temos:
Passo 3
Muito bem, agora o próximo passo! Como é uma matriz vertical, os autovetores são:Autovetor associado ao :
Autovetor associado ao :
Autovetor associado ao :
Passo 4
Muito bom!!! Como nosso maior autovalor é , então ele será nosso máximo condicionado e como o nosso menor autovetor é , ele será nosso mínimo condicionado!Então, bora pra resposta!
Resposta
Máximo condicionado é 9 e ocorre quando (x, y) = (1, 0, 0)Mínimo condicionado é 3 e ocorre quando (x,y) = (0, 0, 1)