Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.Exercícios Suplementares - Ex. 8

Encontre uma decomposição em valores singulares de

Passo 1

Para encontrar os valores singulares de , primeiro precisamos calculaar os autovalores de .

Então vamos começar calculando o produto:

Passo 2

Agora vamos calcular os autovalores:

Resolvendo o determinante chegamos na expressão:

E calculando as raízes da equação de segundo grau encontramos os autovalores:

Logo, os valores singulares são:

Passo 3

Agora vamos encontrar os autovetores unitários:

Para

Se escalonarmos a matriz da expressão por eliminação gaussiana chegamos em:

Então:

Se chamarmos :

O autovetor associado será:

Logo, o autovetor unitário será:

Passo 4

Agora vamos calcular o autovetor associado à

Se escalonarmos a matriz da expressão por eliminação gaussiana chegamos em:

Então:

Se chamarmos :

O autovetor associado será:

Logo, o autovetor unitário será:

Passo 5

Finalmente, podemos calcular as colunas da matriz ortogonal

Passo 6

Agora, podemos calcular a decomposição de A em valores singulares:

Resposta

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Mostre que os operadores F , G , H ∈ L R 2 dados por F ( x ,y )=( x ,2 y ) , G ( x ,y ) = ( y ,x+y ) e H ( x ,y )=( 0 ,x ) formam um conjuntoL . I em: L R 2 .

Sejam F ∈ L U ,V e G ∈ L V ,W tais que K e r ( F ) = o eK e r G ={ o } . Provar que K e r G ∙ F =o .

Seja F ∈ L R 2 o operador dado por F 1 ,0 =( 2 ,5 ) e F 0 ,1=( 3 ,4 ) . Verificar se são automorfismos do R 2 : G = I + F eH = I + F + F 2 .

Seja F : U → V uma transformação linear com a seguinte propriedade: se { u 1 , … , u n } é uma base de U , então F u 1 , … , F u n é linearmente independente em V. Provar que F é injetora.

Verifique se são operadores lineares no espaço P n ( R ) : F : P n R → P n ( R ) tal que F f t = t f ' t , ∀ f t ∈ P n ( R ) ; F : P n R → P n ( R ) tal que F f t = t f ' t + t 2 f ' ' t , ∀ f t ∈ P n