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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 18

Encontre o volume do paralelepípedo de arestas u , v e w .

u = 3 ,   1 ,   2 , v = 4 ,   5 ,   1 , w = ( 1 ,   2 ,   4 )

Passo 1

Nessa questão, vamos usar do produto escalar e do produto vetorial. O volume do paralelepípedo é dado por:

V = u ∙ v × w

Passo 2

Vamos calcular então o produto v × w

v × w = i ^ j ^ k ^ 4 5 1 1 2 4

v × w = i ^ 5 1 2 4 - j ^ 4 1 1 4 + k ^ 4 5 1 2

v × w = i ^ 20 - 2 - j ^ 16 - 1 ) + k ^ 8 - 5

v × w = 18 i ^ - 15 j ^ + 3 k ^

Passo 3

Agora, resta calcular o módulo de u ∙ v × w . Vamos então calcular esse produto escarlar

u ∙ v × w = 3 ,   1 ,   2 18 ,   - 15 ,   3

u ∙ v × w = 3 × 18 + 1 × ( - 15 ) + 2 × 3

u ∙ v × w = 54 - 15 + 6

u ∙ v × w = 45

Passo 4

Agora, o módulo u ∙ v × w é dada por u ∙ v × w = 45         ∴             u ∙ v × w = 45

Resposta

45

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