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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 7

Nos Exercícios 7-10, encontre a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v dados.

7. u = 1 , - 1,2 , v = ( 0,3 , 1 )

Passo 1

Para calcular a área de um paralelogramo, sabemos A = (base)⋅(altura) , porém como estamos tratando de vetores, podemos calcular a área do paralelogramo, obtendo a norma do produto vetorial entre dois vetores.

A = u  ×  v

Passo 2

Logo, vamos calcular logo separadamente o produto vetorial u  ×  v . vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores é calculado é definido por:

Sejam u = u 1 , u 2 , u 3 e v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) vetores, no espaço tridimensional, logo:

u  ×  v = u 2 v 3 - u 3 v 2   ,   u 3 v 1 - u 1 v 3   ,   u 1 v 2 - u 2 v 1

ou em notação de determinante,

u  ×  v = ( u 2 u 3 v 2 v 3 , - u 1 u 3 v 1 v 3   ,   u 1 u 2 v 1 v 2

Agora que sabemos como calcular, vamos fazer: u = 1 , - 1,2  × v = ( 0,3 , 1 )

u  ×  v= - 1 ⋅ 1 - 2 ⋅ 3   ,   2 ⋅ 0 - 1 ⋅ 1   ,   1 ⋅ 3 - - 1 ⋅ 0

u  ×  v= - 1 - 6   ,   0 - 1   ,   3 - 0

u  ×  v= - 7   ,   - 1   ,   3

Passo 3

Como já encontramos o produto vetorial, podemos obter a área calculado a norma:

A = u  ×  v = - 7   ,   - 1   ,   3

A = - 7   ,   - 1   ,   3 = - 7 2 + - 1 2 + 3 2 = 49 ∓ 1 + 9 = 59  

Resposta

A = 59

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