Sejam u , v e w vetores não nulos com o mesmo ponto inicial no espaço tridimensional, mas tais que dois quaisquer não são colineares. Mostre que

u × v × w está no plano determinado por v e w

Passo 1

Vamos começar determinando um vetor perpendicular ao plano formado por   u e w .

n → = u → × w →

Passo 2

Vamos agora determinar um vetor V → = u → × v → × w → . Assim, para que u × v × w esteja no plano, n → ∙ V → = 0

n → ∙ V → = u → × w → ∙ u → × v → × w →

Como a → × b → × c → = a → ∙ c → b → - a → ∙ b → c →

n → ∙ V → = u → × w → ∙ u → × v → × w →

n → ∙ V → = u → ∙ u → × w → × v → × w →

Passo 3

Como u → × u → = 0 , temos:

n → ∙ V → = u → ∙ u → × w → × v → × w →

n → ∙ V → = u → ∙ 0

n → ∙ V → = 0

Logo, V → = u → × v → × w → está no plano

Resposta

V → = u → × v → × w → está no plano

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