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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 31

Se V xx W = V xx U e V != overset(-)(0) , então W = U ?

Passo 1

Oiiee, tudo certinho?

Vamos fazer o seguinte nessa questão! Primeiro, vamos lembrar como que se calcula um produto vetorial, podemos fazer da seguinte maneira:

V xx W = det [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,v_2,v_3],[w_1,w_2,w_3]]] = (v_2 w_3 - v_3 w_2) hat i + (v_3 w_1 - v_1 w_3) hat j + (v_1 w_2 - v_2 w_1) hat k

Vamos usar esta definição!

Passo 2

Ou seja, temos como resultado um vetor da seguinte forma:

X = (v_2 w_3 - v_3 w_2 , v_3 w_1 - v_1 w_3 , v_1 w_2 - v_2 w_1) ( 1 )

Agora, se fizermos o produto V xx U , obteremos:

V xx U = det [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,v_2,v_3],[u_1,u_2,u_3]]] = (v_2 u_3 - v_3 u_2) hat i + (v_3 u_1 - v_1 u_3) hat j + (v_1 u_2 - v_2 u_1) hat k

O que nos leva a um vetor:

Y = (v_2 u_3 - v_3 u_2 , v_3 u_1 - v_1 u_3 , v_1 u_2 - v_2 u_1) ( 2 )

Será que isto nos dá a informação que precisamos?

Passo 3

Se fizermos a igualdade X = Y , temo o seguinte:

v_2 w_3 - v_3 w_2 = v_2 u_3 - v_3 u_2 -> v_2 (w_3 - (v_3)/(v_2) w_2) = v_2 (u_3 - (v_3)/(v_2) u_2) ->

-> w_3 - u_3 = (v_3)/(v_2) (w_2 - u_2)

Analogamente, obtemos:

w_1 - u_1 = (v_1)/(v_3) ( w_3 - u_3 )

e

w_2 - u_2 = (v_2)/(v_1) ( w_1 - u_1 )

Com essas três relações já é claro que U = W não é uma necessidade! Mas vamos trabalhar isso mais um pouco!

Passo 4

Note que contanto que os vínculos acima sejam válidos, as igualdades são válidas! Vamos propor um rápido contraexemplo! Se escolhermos:

V = ( 1,1 , 1 )

Teremos que:

w_3 - u_3 = w_2 - u_2

w_1 - u_1 = w_3 - u_3

w_2 - u_2 = w_1 - u_1

Se escolhermos os vetores W = ( 3,2 , 2 ) e U = ( 2,1 , 1 ) , os vínculos se mantém, e W != U . A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam vec u , vec v e vec w três vetores tais que vec u . vec v = vec v . vec w = vec u . vec w = 0 , |vec u| = sqrt(2) , |vec v| = 2 e |vec w| = 2 . Dados vec a = 2 vec u + vec v - vec w e vec b = ve
Temos a → = 2 , b → = 1ea → ^ b → = c → . Os vetores a → e b → são, respectivamente, paralelos aos vetores i → e j → e têm os mesmos sentidos que esses. Calcule a área do triângulo A B C , sendo A B →
Use o produto vetorial para obter as coordenadas do pé da perpendicular baixada do ponto P = 1,2 , 3 sobre o plano que contém os pontos A = 5,6 , 0 ,B = 0,2 , 2eC = 1,0 , 4 .
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = (2, 1, 6) e os três vértices adjacentes nos pontos B = (4, 1, 3), C = (1, 3, 2) e D = (1, 2, 1).
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = (1, 0, 1), B = (2, 1, 3) e C = (3, 2, 4).