Se V xx W = V xx U e V != overset(-)(0) , então W = U ?

Passo 1

Oiiee, tudo certinho?

Vamos fazer o seguinte nessa questão! Primeiro, vamos lembrar como que se calcula um produto vetorial, podemos fazer da seguinte maneira:

V xx W = det [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,v_2,v_3],[w_1,w_2,w_3]]] = (v_2 w_3 - v_3 w_2) hat i + (v_3 w_1 - v_1 w_3) hat j + (v_1 w_2 - v_2 w_1) hat k

Vamos usar esta definição!

Passo 2

Ou seja, temos como resultado um vetor da seguinte forma:

X = (v_2 w_3 - v_3 w_2 , v_3 w_1 - v_1 w_3 , v_1 w_2 - v_2 w_1) ( 1 )

Agora, se fizermos o produto V xx U , obteremos:

V xx U = det [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,v_2,v_3],[u_1,u_2,u_3]]] = (v_2 u_3 - v_3 u_2) hat i + (v_3 u_1 - v_1 u_3) hat j + (v_1 u_2 - v_2 u_1) hat k

O que nos leva a um vetor:

Y = (v_2 u_3 - v_3 u_2 , v_3 u_1 - v_1 u_3 , v_1 u_2 - v_2 u_1) ( 2 )

Será que isto nos dá a informação que precisamos?

Passo 3

Se fizermos a igualdade X = Y , temo o seguinte:

v_2 w_3 - v_3 w_2 = v_2 u_3 - v_3 u_2 -> v_2 (w_3 - (v_3)/(v_2) w_2) = v_2 (u_3 - (v_3)/(v_2) u_2) ->

-> w_3 - u_3 = (v_3)/(v_2) (w_2 - u_2)

Analogamente, obtemos:

w_1 - u_1 = (v_1)/(v_3) ( w_3 - u_3 )

e

w_2 - u_2 = (v_2)/(v_1) ( w_1 - u_1 )

Com essas três relações já é claro que U = W não é uma necessidade! Mas vamos trabalhar isso mais um pouco!

Passo 4

Note que contanto que os vínculos acima sejam válidos, as igualdades são válidas! Vamos propor um rápido contraexemplo! Se escolhermos:

V = ( 1,1 , 1 )

Teremos que:

w_3 - u_3 = w_2 - u_2

w_1 - u_1 = w_3 - u_3

w_2 - u_2 = w_1 - u_1

Se escolhermos os vetores W = ( 3,2 , 2 ) e U = ( 2,1 , 1 ) , os vínculos se mantém, e W != U . A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

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