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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 4.Exercícios Propostos - Ex. 17

Temos a → = 2 , b → = 1   e   a → ^ b → = c → . Os vetores a → e b → são, respectivamente, paralelos aos vetores i → e j → e têm os mesmos sentidos que esses. Calcule a área do triângulo A B C , sendo A B → = a → - b → + 2 c → e A C → = 2 a → + b → - 3 c → .

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo bem?

Como a → é paralelo a i → e sua norma vale 2, temos que:

a → = ( 2,0 , 0 )

Como b → é paralelo a j → e sua norma vale 1, temos que:

b → = ( 0,1 , 0 )

Já que:

a → ^ b → = c →

Então:

c → = 0,0 , 2   e   c → = 2  

Passo 2

Assim, os vetores A B → e A C → são:

A B → = ( 2 , - 1,4 )

A C → = ( 4,1 , - 6 )

Suas normas são:

A B → = 4 + 1 + 16 = 21

A C → = 16 + 1 + 36 = 53

Passo 3

O ângulo entre A B → e A C → é dado por:

A B → . A C → = A B → A C → c o s ⁡ ( α )

Assim:

2 , - 1,4 . 4,1 , - 6 = 21 53 c o s ⁡ ( α )

cos ⁡ α = - 17 1113

Portanto, pela lei fundamental da trigonometria, temos que:

s e n 2 α + cos 2 ⁡ α = 1

Substituindo:

s e n α = 1 - 17 1113 2 = 824 1113  

Passo 4

A área do triângulo A B C é dada por:

S Δ A B C = 1 2 A B →   x   A C →

O produto vetorial é dado por:

A B →   x   A C → = A B → A C → s e n ( α )

Assim:

A B →   x   A C → = 21 53 824 1113

A B →   x   A C → = 824

Logo, a área do triângulo será:

S Δ A B C = 1 2 824 = 206

Resposta

S Δ A B C = 206

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