Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 2
No Exercício 2, encontre uma decomposição em valores singulares reduzida de A.
Passo 1
O primeiro passo é encontrar os autovalores da matriz
O polinômio característico de será,
De modo que e , são aos seus autovalores
Passo 2
Devemos agora encontrar os valores singulares de A, que em ordem decrescente de tamanho são,
Passo 3
Próximo passo é encontrar os autovetores associados a cada um dos autovalores, utilizando as formas que já aprendemos anteriormente,
Autovetores associados a
Autovetores associados a
Passo 4
Agora vamos normalizar os autovetores que encontramos,
Para , seu tamanho será igual a
Normalizando o vetor, teremos que
Para , seu tamanho será igual a
Normalizando o vetor, teremos que
Para , seu tamanho será igual a
Normalizando o vetor, teremos que
Passo 5
Agora, só nos resta escrever as matrizes da decomposição em valores singulares de A, ou seja,
Sendo,
Resposta
Para finalizar a questão, devemos apenas escrever na forma reduzida. Sabendo que a matriz A tem posto igual a 1, dizemos que , com isso a forma reduzida será,