Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 11a
Encontre bases dos autoespaços das matrizes do Exercício 9.
Passo 1
Para encontramos os autoespaços das matrizes do exercício 9, teremos que aplicar a seguinte propriedade abaixo, e teremos que fazer isso para cada um dos autovalores encontrados. Iremos que começar com a matriz da letra A da questão 6, e depois, iremos seguirmos os mesmos passos para as outras.
Agora temos que arrumar esta igualdade de forma a corresponder com cada item do exercício 6, nesse primeiro caso teremos,
Para ,
Reescrevendo na forma de equação temos então,
Passo 2
Agora, teremos que resolver o sistema para encontrarmos nossa resposta. Aplicando qualquer tipo de solução de sistemas, encontraremos o seguinte resultado,
Passo 3
Agora que sabemos como os elementos do vetor x se relacionam, podemos escrevê-lo da seguinte forma,
Resposta
Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor é,
Terminando essa etapa, teremos que repetir todo o processo acima para os outros autovalores para finalizarmos a questão.
Para ,
Reescrevendo na forma de equação temos então,
Resolvendo o sistema,
Por fim, agora sabemos que uma base do autoespaço do autovalor é,