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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 11

Nos exercícios 11-12, calcule u → ⋅ v → , u ⋅ w e v ⋅ w e mostre que os vetores satisfazem a Fórmula (5) e as partes (a), (b), e (c) do Teorema 5.3.3.

Passo 1

A questão nos dá os seguintes vetores:

u → = i , 2 i , 3

v → = 4 , - 2 i , 1 + i

w = 2 - i , 2 i , 5 + 3 i

a = 2 i

E a equação (3) da seção 5.3 diz que:

u → ⋅ v → = u 1 ⋅ v 1 - + … + u n ⋅ v n -

Passo 2

Vamos calcular os produtos vetoriais

Primeiro u → ⋅ v → :

u → ⋅ v → = i , 2 i , 3 ⋅ 4 , - 2 i , 1 + i u → ⋅ v → = i ⋅ 4 - +   2 i ⋅ - 2 i - + 3 ⋅ 1 + i - u → ⋅ v → = 4 i + 4 - 1 + 3 - 3 i u → ⋅ v → = - 1 + i

Vamos calcular u → ⋅ w → utilizando a Equação (3)

u → ⋅ w → = i , 2 i , 3 ⋅ 2 - i , 2 i , 5 + 3 i u → ⋅ v → = i ⋅ ( 2 - i ) - +   2 i ⋅ 2 i - + 3 ⋅ 3 i - u → ⋅ v → = i ⋅ ( 2 + i ) +   2 i ⋅ ( - 2 i ) + 3 ⋅ ( - 3 i ) u → ⋅ w → = 18 - 7 i

Vamos calcular v → ⋅ w → utilizando a Equação (3)

v → ⋅ w → = 4 , - 2 i , 1 + i ⋅ 2 - i , 2 i , 5 + 3 i u → ⋅ v → = 4 ⋅ 2 - i - - 2 i ⋅ 2 i - + ( 1 + i ) ⋅ 3 i - u → ⋅ v → = 4 ⋅ 2 + i - 2 i ⋅ ( - 2 i ) + ( 1 + i ) ⋅ ( - 3 i ) v → ⋅ w → = 12 - 6 i

Passo 3

E agora vamos mostrar que o Teorema 5.3.3(a) está correto. Para isso vamos efetuar o produto escalar v → ⋅ u → :

v → ⋅ u → = 4 , - 2 i , 1 + i ⋅ i , 2 i , 3 v → ⋅ u → = 4 ⋅ i - + 2 i ⋅ 2 i - + 1 + i ⋅ 3 - v → ⋅ u → = 4 ⋅ ( - i ) + 2 i ⋅ ( - 2 i ) + 1 + i ⋅ 3 v → ⋅ u → = - 4 i + 4 + 3 + 3 i v → ⋅ u → = - 1 - i

O produto vetorial de u → ⋅ v → = - 1 + i . O conjugado deste produto é: u → ⋅ v → - = - 1 - i

Ou seja:

v → ⋅ u → = - 1 - i = u → ⋅ v → -

Isso mostra que o Teorema 5.3.3(a) está corretor

Passo 4

Vamos demonstrar o Teorema 5.3.3(b)

u → v → + w → = i , 2 i , 3 4 , - 2 i , 1 + i ⋅ 2 - i , 2 i , 5 + 3 i

u → v → + w → = i , 2 i , 3 6 - i , 0,6 + 4 i u → v → + w → = i ⋅ 6 - 1 - + 2 i ⋅ 0 + 3 ⋅ 6 + 4 i - u → v → + w → = i ⋅ 6 + i + 0 + 3 ⋅ 6 - 4 i u → v → + w → = 6 i - 1 + 18 - 12 i

Perceba que podemos organizar a expressão da seguinte forma:

u → v → + w → = ( - 1 + i ) + ( 18 - 7 i )

Pelos cálculos que fizemos no Passo 2, sabemos que u → ⋅ v → = - 1 + i e que u → ⋅ w → = 18 - 7 i . Substituíndo na equação:

u → v → + w → = u → ⋅ v → +   u → ⋅ w →

Passo 5

O Teorema 5.3.3(c) diz que:

a u → ⋅ v → = a u → ⋅ v →

Vamos calcular o lado direito desta equação:

a u → ⋅ v → = 2 i ⋅ i , 2 i , 3 ⋅ 4 , - 2 i , 1 + i

Vamos efetuar o produto entre o escalar e o vetor:

a u → ⋅ v → = - 2 , - 4,6 i ⋅ 4 , - 2 i , 1 + i

E agora efetuamos o produto escalar entre os vetores:

a u → ⋅ v → = - 2 ⋅ 4 - - 4 ⋅ - 2 i - + 6 i ⋅ 1 + i - a u → ⋅ v → = - 2 ⋅ 4 - 4 ⋅ 2 i + 6 i ⋅ 1 - i a u → ⋅ v → = - 8 - 8 i + 6 i + 6 a u → ⋅ v → = - 2 - 2 i

Podemos colocar o 2 i   em evidência:

a u → ⋅ v → = 2 i - 1 i - 1 a u → ⋅ v → = 2 i - i - 1 - 1 a u → ⋅ v → = 2 i i - 1

Como calculamos no Passo 2: u → ⋅ v → = - 1 + i . Alem disso a = 2 i .   Vamos substituir esses valores na equação:

a u → ⋅ v → = a ⋅ ( u → ⋅ v → )

Isso demonstra que o Teorema 5.3.3(c) está correto.

Resposta

u → ⋅ v → = - 1 + i

u → ⋅ w → = 18 - 7 i

v → ⋅ w → = 12 - 6 i

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