Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 5 a
5. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Seçao 4.9 são orgtonais.
Passo 1
As matrizes a serem trabalhadas são
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Passo 2
(a) Trabalhando a matriz abaixo pertencente a Tabela 1
Uma matriz é ortogonal, se
Passo 3
Primeiro o que é matriz transposta, é a troca das linhas pelas coluna
Segundo, precisamos saber quem é a matriz identidade
Passo 4
Calculando a transposta de
Passo 5
Retornando para
Passo 6
Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os
e
Passo 7
Calculando:
Então, temos
Resposta
Então, por definição temos que é uma matriz ortogonal
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Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortornormal dos seguintes subespaços vetoriais do R 3 : S = x , y , z ∈ R 3 y - 2 z = 0 }
Determinar, em relação ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespeaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 1 ,0 ,- 1 ,1 ) , v 2 = ( 0 ,1 ,0 ,1 ) e v 3 = ( 1 ,1 ,- 1 ,2 ) .
Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortornormal dos seguintes subespaços vetoriais do R 3 : S = x , y , z ∈ R 3 x + y + z = 0 }
Seja V = R 3 munido do produto interno usual. Dados os subespaços S 1 = x , y , z x - 2 y + 3 z = 0 } S 2 = t2 ,1 ,- 1 t ∈ R } determinar S 1 ⊥ e S 2 ⊥ .
Seja V = R 3 munido do produto interno usual e B = { 1 ,2 ,- 3 ,2 ,- 4 ,2 } . Determinar:a) O subespaço S gerado por B .b) O subespaço S ⊥ .