Prove o Teorema 5.3.2 Passo 1O Teorema 5.3.2 diz que: overset(-)(overset(-)(A)) = A overset(-)((A^T)) = (A)^T overset(-)(A B) = overset(-)(A) overset(-)(B) Para isso vamos usar duas matrizes: A_n k = [[[a_11,+,i,b_11,a_12,+,i,b_12,cdots,a_1 k,+,i,b_1 k],[a_21,+,i,b_21,a_22,+,i,b_22,cdots,a_2 k,+,i,b_2 k],[vdots,vdots,cdots,vdots],[a_n 1,+,i,b_n 1,a_n 2,+,i,b_n 2,cdots,a_n k,+,i,b_n k]]] B_k m = [[[c_11,+,i,d_11,c_12,+,i,d_12,cdots,c_1 m,+,i,d_1 m],[c_21,+,i,d_21,c_22,+,i,d_22,cdots,c_2 m,+,i,d_2 m],[vdots,vdots,cdots,vdots],[c_k 1,+,i,d_k 1,c_k 2,+,i,d_k 2,cdots,c_k m,+,i,d_k m]]] Passo 2Vamos provar o Teorema 5.3.2a) Dada uma matriz no formato: A = [[[a_11,+,i,b_11,a_12,+,i,b_12,cdots,a_1 k,+,i,b_1 k],[a_21,+,i,b_21,a_22,+,i,b_22,cdots,a_2 k,+,i,b_2 k],[vdots,vdots,cdots,vdots],[a_n 1,+,i,b_n 1,a_n 2,+,i,b_n 2,cdots,a_n k,+,i,b_n k]]] Vamos aplicar um conjugado em em A, vamos trocar os sinais que ficam em frente aos i ’s overset(-)(A) = [[[a_11,-,i,b_11,a_12,-,i,b_12,cdots,a_1 k,-,i,b_1 k],[a_21,-,i,b_21,a_22,-,i,b_22,cdots,a_2 k,-,i,b_2 k],[vdots,vdots,ddots,vdots],[a_n 1,-,i,b_n 1,a_n 2,-,i,b_n 2,cdots,a_n k,-,i,b_n k]]] E vamos aplicar um conjugado mais uma vez, trocando novamente os sinais: overset(-)(overset(-)(A)) = [[[a_11,+,i,b_11,a_12,+,i,b_12,cdots,a_1 k,+,i,b_1 k],[a_21,+,i,b_21,a_22,+,i,b_22,cdots,a_2 k,+,i,b_2 k],[vdots,vdots,cdots,vdots],[a_n 1,+,i,b_n 1,a_n 2,+,i,b_n 2,cdots,a_n k,+,i,b_n k]]] Ou seja: overset(-)(overset(-)(A)) = A Passo 3Vamos provar o Teorema 5.3.2b) Primeiro vamos testar o conjugado da transposta: overset(-)((A^T)) A = [[[a_11,+,i,b_11,a_12,+,i,b_12,cdots,a_1 k,+,i,b_1 k],[a_21,+,i,b_21,a_22,+,i,b_22,cdots,a_2 k,+,i,b_2 k],[vdots,vdots,cdots,vdots],[a_n 1,+,i,b_n 1,a_n 2,+,i,b_n 2,cdots,a_n k,+,i,b_n k]]] A t r a s p o s t a d e s t a m a t r i z é é ⇓ A^T = [[[a_11,+,i,b_11,a_21,+,i,b_21,cdots,a_n 1,+,i,b_n 1],[a_12,+,i,b_12,a_22,+,i,b_22,cdots,a_n 2,+,i,b_n 2],[vdots,vdots,vdots,vdots],[a_1 k,+,i,b_1 k,a_2 k,+,i,b_2 k,cdots,a_n k,+,i,b_n k]]] E a p l i c a n d o o c o n j u g a d o : ⇓ overset(-)(( A^T )) = [[[a_11,-,i,b_11,a_21,-,i,b_21,cdots,a_n 1,-,i,b_n 1],[a_12,-,i,b_12,a_22,-,i,b_22,cdots,a_n 2,-,i,b_n 2],[vdots,vdots,vdots,vdots],[a_1 k,-,i,b_1 k,a_2 k,-,i,b_2 k,cdots,a_n k,-,i,b_n k]]] Agora vamos testar a transposta do conjugado: ( overset(-)(A) )^T A = [[[a_11,+,i,b_11,a_12,+,i,b_12,cdots,a_1 k,+,i,b_1 k],[a_21,+,i,b_21,a_22,+,i,b_22,cdots,a_2 k,+,i,b_2 k],[vdots,vdots,cdots,vdots],[a_n 1,+,i,b_n 1,a_n 2,+,i,b_n 2,cdots,a_n k,+,i,b_n k]]] A p l i c a n d o o c o n j u g a d o : ⇓ overset(-)(A) = [[[a_11,-,i,b_11,a_12,-,i,b_12,cdots,a_1 k,-,i,b_1 k],[a_21,-,i,b_21,a_22,-,i,b_22,cdots,a_2 k,-,i,b_2 k],[vdots,vdots,ddots,vdots],[a_n 1,-,i,b_n 1,a_n 2,-,i,b_n 2,cdots,a_n k,-,i,b_n k]]] E a p l i c a n d o a t r a n s p o s i ç ã o : ç ã ⇓ (overset(-)(A))^T = [[[a_11,-,i,b_11,a_21,-,i,b_21,cdots,a_n 1,-,i,b_n 1],[a_12,-,i,b_12,a_22,-,i,b_22,cdots,a_n 2,-,i,b_n 2],[vdots,vdots,vdots,vdots],[a_1 k,-,i,b_1 k,a_2 k,-,i,b_2 k,cdots,a_n k,-,i,b_n k]]] Comparando os dois resultados, temos que: (overset(-)(A))^T = overset(-)(( A^T )) Passo 4Agora vamos provar o Teorema 5.3.2c) Primeiro vamos calcular o conjugado do produto overset(-)(A B) : A B = [[[a_11,+,i,b_11,cdots,a_1 k,+,i,b_1 k],[vdots,ddots,vdots],[a_n 1,+,i,b_n 1,cdots,a_n k,+,i,b_n k]]] [[[c_11,+,i,d_11,cdots,c_1 m,+,i,d_1 m],[vdots,ddots,vdots],[c_k 1,+,i,d_k 1,cdots,c_k m,+,i,d_k m]]] Vamos aplicar o produto matricial: A B = [[[sum_1^k ( a_1 j + i b_1 j ) ( c_j 1 + i d_j 1 ),cdots,sum_1^k ( a_1 j + i b_1 j ) ( c_j m + i d_j m )],[vdots,ddots,vdots],[sum_1^k ( a_n j + i b_n j ) ( c_j 1 + i d_j 1 ),cdots,sum_1^k ( a_n j + i b_n j ) ( c_j m + i d_j m )]]] E agora aplicamos o conjugado: overset(-)(A B) = [[[sum_1^k ( a_1 j - i b_1 j ) ( c_j 1 - i d_j 1 ),cdots,sum_1^k ( a_1 j - i b_1 j ) ( c_j m - i d_j m )],[vdots,ddots,vdots],[sum_1^k ( a_n j - i b_n j ) ( c_j 1 - i d_j 1 ),cdots,sum_1^k ( a_n j - i b_n j ) ( c_j m - i d_j m )]]] Podemos separar agora em duas matrizes: overset(-)(A B) = [[[a_11,-,i,b_11,cdots,a_1 k,-,i,b_1 k],[vdots,ddots,vdots],[a_n 1,-,i,b_n 1,cdots,a_n k,-,i,b_n k]]] [[[c_11,-,i,d_11,cdots,c_1 m,-,i,d_1 m],[vdots,ddots,vdots],[c_k 1,-,i,d_k 1,cdots,c_k m,-,i,d_k m]]] E essas matrizes que separamos são os conjugados de A e B : overset(-)(A B) = overset(-)(A) * overset(-)(B) RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosSejam A a matriz dada no Exercício 8 e B a matriz B = 5 i 1 - 4 i Confirme que essas matrizes têm as propriedades anunciadas no Teorema 5.3.2Sejam A a matriz dada no Exercício 7 e B a matriz B = 1 - i 2 i Confirme que essas matrizes têm as propriedades anunciadas no Teorema 5.3.2Nos exercícios 1-2, encontreoverset(-)( vec u ) , R e ( u ) , I m ( u ) e ||u||vec u = ( 6,1 + 4 i , 6 - 2 i )Nos exercícios 3-4, mostre que u → , v → e a satisfazem o Teorema 5.3.1 u → = 3 - 4 i , 2 + i , - 6 i v → = ( 1 + i , 2 - i , 4 ) a = iNos Exercícios 7-8, encontre overset(-)(A) e R e ( A ) , d e t ( A ) e t r ( A ) A = [[[-,5,i,4],[2,-,i,1,+,5,i]]]Ver TambémVer Livro Anton - Álgebra LinearVer tudo sobre Autovalores, Autovetores e DiagonalizaçãoLista de exercícios de Introdução aos Espaços ComplexosVer exercício 5.3 - 30Ver exercício 5.3 - 29