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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 29

As matrizes

σ 1 = 0 1 1 0   σ 2 = 0 - i i 0   σ 3 = 1 0 0 - 1

Denominadas matrizes spin de Pauli são utilizadas na Mecânica Quantica para estudar o spin de partículas. As matrizes de Dirac que também são utilizadas na Mecânica Quantica, são expressas em termos das matrizes spin de Pauli e a matriz identidade I 2 de tamanho 2 × 2 por

β = I 2 0 0 - I 2       α x = 0 σ 1 σ 1 0

α y = 0 σ 2 σ 2 0       α z = 0 σ 3 σ 3 0

  1. Mostre que β 2 = α x 2 = α y 2 = α z 2
  2. Mostre que as matrizes de Dirac são anticomutativas

Passo 1

Primeiro vamos elevao ao quadrado as matrizes Spin de Paulo

σ 1 2 = 0 1 1 0 0 1 1 0 = 1 0 0 1 = I 2

σ 2 2 = 0 - i i 0 0 - i i 0 = 1 0 0 1 = I 2

σ 3 2 = 1 0 0 - 1 1 0 0 - 1 = 1 0 0 1 = I 2

Percebeu? Todas as matrizes spin, quando são elevadas ao quadrado, se tornam iguais à matriz identidade!

Passo 2

Item A)

Agora vamos elevar as matrizes de dirac ao quadrado:

Primeiro a matriz β , e lembre-se que I 2 2 = I 2

β 2 = I 2 0 0 - I 2 I 2 0 0 - I 2 = I 2 2 0 0 I 2 2 = I 2 0 0 I 2

Agora vamos calcular a matriz α x , lembrando que σ 1 2 = I 2

α x = 0 σ 1 σ 1 0 0 σ 1 σ 1 0 = σ 1 2 0 0 σ 1 2 = I 2 0 0 I 2

E fazemos o mesmo para α y

α y = 0 σ 2 σ 2 0 0 σ 2 σ 2 0 = σ 2 2 0 0 σ 2 2 = I 2 0 0 I 2

E α z :

α z = 0 σ 3 σ 3 0 0 σ 3 σ 3 0 = σ 3 2 0 0 σ 3 2 = I 2 0 0 I 2

E isso demonstra que:

β 2 = α x 2 = α y 2 = α z 2 = I 2 0 0 I 2

Passo 3

Item B)

Primeiro vamos executar o produto β α x

β ⋅ α x = I 2 0 0 - I 2 ⋅ 0 σ 1 σ 1 0 = 0 I 2 σ 1 - I 2 σ 1 0

E agora vamos calcular o produto inverso α x β :

β ⋅ α x = 0 σ 1 σ 1 0 I 2 0 0 - I 2 = 0 - I 2 σ 1 I 2 σ 1 0 = - 0 I 2 σ 1 - I 2 σ 1 0

Isso demonstra que β e α x são anticomultativas entre si. Além disso, como as matrizes α x , α y e α z são semelhantes, podemos garantir que α y e α z também são anticomultativas com β .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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