Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 19
Nos exercícios 16-21, encontre as multiplicidades geométricas e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule
Passo 1
A questão nos dá a seguinte matriz:
Essta é uma matriz triangular, então os autovalores são:
O autovalor aparece duas vezes então a multiplicidade algébrica é igual a 2. E o autovalor aparece uma vez e sua multiplicidade algébrica igual a 1.
Passo 2
Vamos calcular os autovetores:
Para
Então os autovetores associados:
Como temos duas variáveis depentes, podemos separar em dois autovetores:
As bases dos autovetores são:
Este autovalor tem multiplicidade aritimética igual a e é associado a dois autovetores, o que torna sua multiplicidade geométrica igual a 2. Por definição, a multiplicidade geométrica do outro autovalor deve ser ao menos 1. Então a matriz é diagonalizável.
Passo 3
Para
Então os autovetores associados:
A base do autovetor é:
Passo 4
A matriz é dada pela composição dos autovetores:
E a matriz diagonal é igual a diagonal de autovalores:
Resposta
A matriz é diagonalizável.