Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 17
Nos exercícios 16-21, encontre as multiplicidades geométricas e algébrica de cada autovalor de A e determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule
Passo 1
A questão nos dá a seguinte matriz:
Primeiro vamos determinar os autovalores da matriz
Então, os autovalores são:
Para todos os autovalores, a multiplicidade algébrica é igual a , pois e são elevados a .
Também sabemos que cada autovalor deve ter ao menos um auto vetor. E também sabemos que a multiplicidade geométrica é igual ao número de autovetores, e que a multiplicidade geométrica é sempre menor ou igual a multiplicidade algébrica.
Por consequência, todos os autovalores devem ter multiplicidade geométrica igual a .
Então, como a multiplicidade geométrica e algébrica são iguais, a matriz é diagonalizável.
Passo 2
Vamos calcular os autovetores:
Para
Vamos dividir a primeira linha por dois, e a segunda linha por três.
Vamos pegar a primeira linha e vamos subtraí-la da segunda linha. E vamos pegar a primeira linha, multiplicar por 3 e subtrair da terceira linha:
Vamos pegar a segunda linha, multiplicar por 5, e subtrair da terceira linha; Vamos pegar a segunda linha, multiplicar por 2 e somar na primeira linha:
O autovetor associado é:
A base do autovetor é:
Passo 3
Para
Vamos subtrair a primeira linha da segunda e da terceira:
A primeira e a segunda linha são claramente múltiplos entre si. Então vamos dividir a segunda linha por 2. Depois vamos multiplicar a segunda linha por 3 e subtrair na terceira linha:
Vamos multiplicar a segunda linha por 4 e somar na primeira linha:
O autovetor associado é:
A base do autovetor é:
Passo 4
Para
Vamos pegar a segunda linha e subtrair da terceira linha. E vamos novamente pegar a segunda linha, multiplicar por 4 e subtrair da primeira linha:
O autovetor associado é:
A base do autovetor é:
Passo 5
A matriz é dada pela composição dos autovetores:
E a matriz diagonal é igual a diagonal de autovalores:
Resposta
A matriz é diagonalizável.