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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.2 - Ex. 5d

Estudar quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes

A = 1 1 1 1 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 1

Passo 1

Nós temos

A = 1 1 1 1 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 1

Nós podemos simplificar essa matriz, somando a Linha 1 com a Linha 2 e a Linha 3 com a Linha 4.

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ

Passo 2

Vamos subtrair

1 1 1 1 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 1 - - λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ = 1 - λ 1 1 1 1 1 - λ - 1 - 1 1 - 1 1 - λ - 1 1 - 1 - 1 1 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante! Ixi, uma matriz 4 × 4 , não é tão fácil assim de resolver né? Vamos usar o Teorema de Laplace

O Teorema de Laplace é uma maneira de encontrar o determinante de uma matriz n × n . Podemos usar o 2, presente na última linha e na primeira coluna, como cofator

Ai faremos

1 × 1 1 1 1 - λ - 1 - 1 - 1 1 - λ - 1

Assim

1 1 1 1 - λ - 1 - 1 - 1 1 - λ - 1   1 1 1 - λ - 1 - 1 1 - λ

O determinante será

λ 2 - 4 λ + 4

Igualando a zero pra encontrar o valor próprio

λ 2 - 4 λ + 4 = 0 → λ - 2 2 = 0

Assim

λ = 2

Passo 3

Agora vamos pro vetor próprio usando   λ = 2

1 - λ 1 1 1 1 1 - λ - 1 - 1 1 - 1 1 - λ - 1 1 - 1 - 1 1 - λ = - 1 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1

Colocando no sisteminha de equações

- 1 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Assim a matriz estendida é

- 1 1 1 1 0 1 - 1 - 1 - 1 0 1 - 1 - 1 - 1 0 1 - 1 - 1 - 1 0

Simplificando

1 - 1 - 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x 1 - x 2 - x 3 1 x 4 = 0 x 2 = r x 3 = s x 4 = t → x 1 = x 2 + x 3 + x 4 x 2 = r x 3 = s x 4 = t → x 1 = r + s + t x 3 = r x 2 = s x 4 = t

Logo o vetor é

r 1 1 0 0 ,     s 1 0 1 0 ,     t 1 0 0 1

Resposta

Valor próprio 2, com três vetores próprios diferentes, com multiplicidade geométrica 3.

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