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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.2 - Ex. 5b

Estudar quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes

1 0 0 m 2 0 n 0 2

Passo 1

Nós temos

A = 1 0 0 m 2 0 n 0 2

Que é uma matriz triangular inferior, porque os zeros estão acima da diagonal principal

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Passo 2

Vamos subtrair

1 0 0 m 2 0 n 0 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 1 - λ 0 0 m 2 - λ 0 n 0 2 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante! Só que essa matriz é muito especial! É uma triangular inferior, então podemos multiplicar só a diagonal principal!

1 - λ 2 - λ 2 = 0

Consequentemente já temos os autovalores! Porque se um dos for zero, a equação será verdade, logo

λ 1 = 1         e       λ 2 = λ 3 = 2

Passo 3

Vamos pro vetor próprio usando λ 2 = λ 3 = 2

1 - λ 0 0 m 2 - λ 0 n 0 2 - λ = - 1 0 0 m 0 0 n 0 0

Colocando no sisteminha de equações

- 1 0 0 m 0 0 n 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Assim podemos entender que m = n = - 1

- 1 0 0 - 1 0 0 - 1 0 0

No sistema

x 1 = 0 x 2 = t x 3 = s

Logo os vetores são

t 0 1 0 → 0 1 0           e             s 0 0 1 → 0 0 1

Passo 4

Vamos pro vetor próprio usando λ 1 = 1

1 - λ 0 0 m 2 - λ 0 n 0 2 - λ = 0 0 0 m 1 0 n 0 1

Colocando no sisteminha de equações

0 0 0 m 1 0 n 0 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Assim a matriz estendida é

0 0 0 0 m 1 0 0 n 0 1 0

Assim

x 1 = t m x 1 + x 2 = 0 n x 1 + x 3 = 0 → x 1 = t x 2 = - m x 1 x 3 = - n x 1 → x 1 = t x 2 = - m t x 3 = - n t

Logo o vetor é

t 1 - m - n

Sendo que m e n são iguais a -1, o vetor é

1 1 1

Passo 5

Juntando os autovalores, teremos a matriz

1 0 0 0 2 0 0 0 2

Assim, colocando os autovetores na indicação dos autovalores, temos M igual a

M = 1 0 0 1 1 0 1 0 1

Resposta

M = 1 0 0 1 1 0 1 0 1

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Determine A para cada matriz A as potências A k ,p a r ak = 1,2 , 3 , … c) 0 - 2 3 0 1 0 0 - 2 3
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