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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 21

Nos Exercícios 21-26, Calcule d e t ⁡ ( A ) com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.

21.

- 3 0   7       2 5 1 - 1 0 5

Passo 1

Para calcular o determinante dessa matriz vamos usar o método de Expansão de Cofatores, para matrizes quadradas, no caso na questão, uma matriz 3 x 3 .

det ⁡ A = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + … + a n j C n j

[expansão de cofatores ao longo da coluna j ]

det ⁡ A = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + … + a i n C i n

[expansão de cofatores ao longo da linha i ]

Ao longo de qual linha ou coluna vamos fazer a expansão de cofatores?

Observe que a segunda coluna é composta por duas entradas com valor zero ( a 12 e a 32 ) . Logo não precisaremos calcular os cofatores correspondentes a essas entradas. ( C 12 e C 32 ) .

det ⁡ A = a 12 C 12 + a 22 C 22 + a 32 C 32

det ⁡ A = 0 × C 12 + a 22 C 22 + 0 × C 32

Logo:

det ⁡ A = a 22 C 22

Passo 2

Agora que sabemos que o determinante dessa matriz é simplesmente, det ⁡ A = a 22 C 22 , vamos encontrar o C 22 , para calcular o valor do determinante.

C 22 = - 1 2 + 2   M 11 = 1 × - 3 7 - 1 5 = - 3 × 5 - 7 × - 1 = - 15 - - 7 = - 8

det ⁡ A = a 22 × ( - 8 )

det ⁡ A = 5 × - 8 = - 40

Resposta

det ⁡ A = - 40

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