Nos Exercícios 21-28, encontre os componentes vetoriais de u ao longo de e ortogonal a a.

26. u = 2 , 0 , 1 ,   a = 1 , 2 , 3

Passo 1

Primeiro vamos encontrar os componentes vetoriais de u ao longo de a , para isso vamos utilizar a seguinte fórmula da projeção:

proj a u = u ⋅  a       a 2   a

Passo 2

Agora vamos calcular cada uma das seguintes partes, de forma separada:

u ⋅  a = 2 , 0 , 1 ⋅ 1 , 2 , 3 = 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 = 2 + 0 + 3 = 5

      a 2 =       1 , 2 , 3 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 1 + 4 + 9 = 14

Passo 3

Aplicando os valores na formula temos que:

proj a u = u ⋅  a       a 2   a = 5 14 1 , 2 , 3 = 5 14 , 10 14 ,   1 5 14

Assim o componente vetorial de u ao longo de a é:

5 14 , 10 14 ,   15 14

Passo 4

Ainda falta encontrarmos o componente vetorial de u ortogonal a a , vamos lembrar que para isso, basta fazermos uma simples subtração, de acordo com a formula:

u - proj a u

Como encontramos o componente vetorial de u ao longo de a proj a u no passo anterior, vamos utilizar agora para encontrar a componente ortogonal.

u - proj a u = 2 , 0 , 1 - 5 14 , 10 14 ,   15 14 = 2 - 5 14   ,   0 - 10 14   ,   1 - 15 14   = 23 14 , - 10 14 , - 1 14

Assim o componente vetorial de u ortogonal a a é:

23 14 , - 10 14 , - 1 14

Resposta

5 14 , 10 14 ,   15 14   ;   23 14 , - 10 14 , - 1 14

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