Enunciado

Nos exercícios 30-33, confirme as identidades sem calcular o determinante diretamente.

1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 = b - a c - a c - b

Passo 1

Podemos tenter deixar a matriz da esquerda mais parecida com a da direita, dessa forma pode aparecer o 1 - t 2 multiplicando alguma linha e poderemos tirar ele para fora:

Podemos deixar a segunda linha sobente com os b ’s se somarmos - t vezes a primeira linha na segunda:

a 1 + b 1 t a 2 + b 2 t a 3 + b 3 t a 1 t + b 1 a 2 t + b 2 a 3 t + b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1 + b 1 t a 2 + b 2 t a 3 + b 3 t b 1 - b 1 t 2 b 2 - b 2 t 2 b 3 - b 3 t 2 c 1 c 2 c 3

Se tirarmos os b ’s em evidencia na segunda linha teremos:

a 1 + b 1 t a 2 + b 2 t a 3 + b 3 t b 1 - b 1 t 2 b 2 - b 2 t 2 b 3 - b 3 t 2 c 1 c 2 c 3 = a 1 + b 1 t a 2 + b 2 t a 3 + b 3 t b 1 1 - t 2 b 2 1 - t 2 b 3 1 - t 2 c 1 c 2 c 3

Que era o termos que a gente precisava, podemos tirar ele para fora da matriz:

a 1 + b 1 t a 2 + b 2 t a 3 + b 3 t b 1 1 - t 2 b 2 1 - t 2 b 3 1 - t 2 c 1 c 2 c 3 = 1 - t 2 ⋅ a 1 + b 1 t a 2 + b 2 t a 3 + b 3 t b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

E para finalizar, só precisamos somar - t vezes a segunda linha na primeira:

1 - t 2 ⋅ a 1 + b 1 t a 2 + b 2 t a 3 + b 3 t b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = 1 - t 2 ⋅ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

Com isso chegamos no que o exercício queria:

a 1 + b 1 t a 2 + b 2 t a 3 + b 3 t a 1 t + b 1 a 2 t + b 2 a 3 t + b 3 c 1 c 2 c 3 = 1 - t 2 ⋅ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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