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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 10

Nos Exercícios 7-10, encontre a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v dados.

10. u = 1 , 1 , 1 , v = ( 3 , 2 , - 5 )

Passo 1

Para calcular a área de um paralelogramo, sabemos A = (base)⋅(altura) , porém como estamos tratando de vetores, podemos calcular a área do paralelogramo, obtendo a norma do produto vetorial entre dois vetores.

A = u  ×  v

Passo 2

Logo, vamos calcular logo separadamente o produto vetorial u  ×  v . vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores é calculado é definido por:

Sejam u = u 1 , u 2 , u 3 e v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) vetores, no espaço tridimensional, logo:

u  ×  v = u 2 v 3 - u 3 v 2   ,   u 3 v 1 - u 1 v 3   ,   u 1 v 2 - u 2 v 1

ou em notação de determinante,

u  ×  v = ( u 2 u 3 v 2 v 3 , - u 1 u 3 v 1 v 3   ,   u 1 u 2 v 1 v 2

Agora que sabemos como calcular, vamos fazer: u = 1 , 1 , 1 × v = ( 3 , 2 , - 5 )

u  ×  v= 1 ⋅ ( - 5 ) - 1 ⋅ 2   ,   1 ⋅ 3 - 1 ⋅ ( - 5 )   ,   1 ⋅ 2 - 1 ⋅ 3

u  ×  v= - 5 - 2   ,   3 + 5   ,   2 - 3

u  ×  v= - 7   ,   8   ,   - 1

Passo 3

Como já encontramos o produto vetorial, podemos obter a área calculado a norma:

A = u  ×  v = - 7   ,   8   ,   - 1

A = - 7   ,   8   ,   - 1 = ( - 7 ) 2 + 8 2 + ( - 1 ) 2 = 49 + 64 + 1     = 1 14

Resposta

A = 114

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