Mostre que se T : V → W for a transformação nula, então a matriz de T em relação a quaisquer bases de V e de W é a matriz zero.

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.4 - Ex. 14

Mostre que se for a transformação nula, então a matriz de em relação a quaisquer bases de e de é a matriz zero.

Passo 1

Show de bola galera, suponha que e sejam base de e respectivamente, como nossa transformação é a transformação nula, isso quer dizer que na base canônica

Ou seja, para qualquer vetor ,

Passo 2

Agora, como queremos escrever essa transformação nas bases e , sendo essas duas bases quaisquer, temos que a transformação é

Sendo vetores da base e vetores da base . MAAAASSSS como vimos no passo 1, , para qualquer vetor , logo vamos ter que e

Passo 3

Dado que , temos

Mas como todos os vetores da base são linearmente independentes, essa combinação só tem a solução trivial , portanto

E isso quer dizer que independente das bases e , a transformação escrita nessas bases é

Ou seja, a transformação nula será a transformação nula independente das bases.

Resposta

Demonstração.

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Seja T : R 2 → R 3 definida por T x 1 x 2 = x 1 + 2 x 2 - x 1 0 Encontre a matriz T B ' , B em relação ás bases B = { u 1 ,u 2 } e B ' = { v 1 ,v 2 ,v 3 } , em que u 1 = 1 3 e u 2 = - 2 4 v 1 = 1 1 1

Sejam T 1 : P 1 → P 2 a transformação linear definida por T 1 c 0 + c 1 x = 2 c 0 - 3 c 1 x E T 2 : P 2 → P 3 a transformação linear definida por T 2 c 0 + c 1 x + c 2 x 2 = 3 c 0 x + 3 c 1 x 2 + 3 c

Seja A = 1 3 - 1 2 0 5 6 - 2 4 a matriz de T : P 2 → P 2 em relação às bases B = { v 1 ,v 2 ,v 3 } , em qu v 1 = 3 x + 3 x 2 , v 2 = - 1 + 3 x + 2 x 2 , v 3 = 3 + 7 x + 2 x 2 . Encontre T v 1 B , T v

Seja T : R 3 → R 3 o operador linear definido por T ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) = ( x 1 - x 2 ,x 2 - x 1 ,x 1 - x 3 ) Encontre a matriz T em relação ás bases B = { v 1 ,v 2 ,v 3 } , em que v 1 = ( 1 ,0 ,1 ) , v

Sejam A = 3 - 2 1 0 1 6 2 1 - 3 0 7 1 a matriz de T : R 4 → R 3 em relação às bases B = { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } e B ' = { w 1 ,w 2 ,w 3 } em que. v 1 = 0 1 1 1 , v 2 = 2 1 - 1 - 1 , v 3 = 1 4 - 1 2 , v