Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 9
Nos exercícios de 7-11 use o método do Exercício 6 para determinar se a matriz é diagonalizável.
Passo 1
A questão nos dá a seguinte matriz:
Note que esta é uma matriz triângular inferior, então podemos definir seus autovalores apartir da diagonal principal:
Passo 2
Vamos calcular os Autovetores.
Para
Por eliminação gaussiana, podemos somar a segunda linha na terceira:
Concluímos que pode ser qualquer número, e que e são iguais a zero:
Assim, o autovetor associado a é:
Assim, o autovalor tem multiplicidade geométrica igual a um e multiplicidade algébrica igual a um
Passo 3
Agora vamos calcular os Autovetores para
Concluímos então que:
Assim, o autovetor associado a é?
Assim, o autovalor , aparece duas vezes como autovalor e por isso tem multiplicidade geométrica igual a dois. Porém, este autovalor gera apenas um autovetor, então sua multiplicidade geométrica é igual a um.
Como neste caso o a multiplicidade geométrica é diferente da multiplicidade algébrica, então a matriz não pode ser diagonalizável.
Resposta
A matriz não é diagonalizável.