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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 9

Nos Exercícios 9-12, mostre que A é unitária e encontre A - 1 .

9. A = 3 5 4 5 i - 4 5 3 5 i

Passo 1

Primeiro vamos achar a matriz transposta conjugada.

A matriz transposta:

A T = 3 5 - 4 5 4 5 i 3 5 i

E a transposta conjugada:

A * = 3 5 - 4 5 - 4 5 i - 3 5 i

Passo 2

Pra A   ser unitária, então:

A * A = I

Vamos multiplicar as duas matrizes, então:

A * A = 3 5 - 4 5 - 4 5 i - 3 5 i 3 5 4 5 i - 4 5 3 5 i

= 3 5 3 5 + - 4 5 - 4 5 3 5 4 5 i + - 4 5 3 5 i - 4 5 i 3 5 + - 3 5 i - 4 5 - 4 5 i 4 5 i + - 3 5 i 3 5 i

= 1 0 0 1

Portanto:

A * A = I

Então A é unitária, como queríamos demonstrar.

Passo 3

Lembrando a matriz inversa:

A - 1 A = I

Então, comparando:

A - 1 = A *

A - 1 = 3 5 - 4 5 - 4 5 i - 3 5 i

Resposta

A - 1 = 3 5 - 4 5 - 4 5 i - 3 5 i

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