Seja V o espaço gerado por v 1 = cos 2 ⁡ x ,   v 2 = sen 2 ⁡ x ,   v 3 = cos ⁡ 2 x .

  1. Mostre que S   =   { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } não é uma base de V .
  2. Encontre uma base de V .

Passo 1

  1. Vamos lá! Primeira coisa que devemos fazer é usar a identidade trigonométrica pra nosso v 3 :

    cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x

    Assim conseguimos deixar todos com a mesma carinha de cos 2 ⁡ x e sen 2 ⁡ x , beleza?!

    Agora vamos escrever nossa matriz S na forma de coluna, tal que cada coluna represente a equação:

    acos 2 ⁡ x + b sen 2 ⁡ x

    Assim nossa matriz S vai ficar assim:

    S = acos 2 ⁡ x b sen 2 ⁡ x ⋅ 1 0 1 0 1 - 1

    A matriz canônica de S é:

    S = 1 0 1 0 1 - 1

    Daí, conseguimos concluir que a matriz S é L.D, pois o número de colunas é maior do que o de linhas, belezinha?!

    Então como nosso conjunto é L.D ele não pode formar uma base para nosso espaço vetorial.

    Observação: Lembrando que sempre que o número de colunas for maior do que o número de linhas nosso sistema será L.D!! Isso é suuuper importante!

    Passo 2

  2. Para encontrar uma base de   V   vamos analisar nossos vetores:

v 1 = cos 2 ⁡ x

v 2 = sen 2 ⁡ x

v 3 = cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x

Nós podemos escrever v 3 como uma combinação de v 1 e v 2 ,certo?! Assim nós podemos fazer nosso espaço vetorial com uma matriz mais simples de forma:

S = acos 2 ⁡ x b sen 2 ⁡ x ⋅ 1 0 0 1

Nossa matriz canônica fica assim:

S = 1 0 0 1

Assim ela consegue descrever todo nosso espaço vetorial!! Show de bola?!

Isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados