4. A figura dada mostra uma rede viária de ruas de mão única com fluxo de tráfego nos sentidos indicados. As taxas de fluxo ao longo das ruas são medidas pelo número de veículos por hora.

(a) Monte um sistema linear cuja solução forneça as taxas de fluxo desconhecidas.

(b) Resolva o sitema para as taxas de fluxo desconhecidas.

(c) É possível fechar a rua de A para B em virtude de uma obra e manter o tráfego fluindo em todas as direções? Explique.

(b)

Para resolver o sistema precisamos escalonar essa matriz.

Podemos escrever a segunda linha como se fosse a ultima e manter a ordem das outras:

Somando vez a primeira linha na ultima:

Somando a segunda linha na ultima:

Somando a terceira linha na ultima:

Somando vez a quarta linha na ultima:

Somando a quinta linha na ultima:

Agora, com o sistema escalonado, podemos reescrever na forma de equações e ir resolvendo de baixo para cima:

Vamos começar definindo a variável livre:

Dessa forma:

Indo para a quarta equação:

Aqui vamos precisar de outra variável livre, então vamos definir:

Então:

Terceira equação:

Segunda equação:

E por fim, a primeira equação:

Então a solução do sistema é a seguinte:

(c)

Se fechássemos a rua de A para B o fluxo ia ser igual a zero, então:

Nenhum dos fluxos pode ser negativo, pois as ruas tem mão única e os carros não podem andar na contramão, logo, se esse valor de não acarretar em algum fluxo negativo, nós poderemos fechar a rua, do contrário não vai dar, não.

Vamos ver o que acontece nas outras equações:

Segunda:

O valor de não influencia nesse resultado. Para que o fluxo não fique negativo nós temos que:

Terceira:

Quarta:

Daqui tiramos que:

Quinta:

Daqui tiramos que:

Ou seja, todas as equações podem assumir valores válido quando o valor de for 0, ou seja, quando fechamos a rua. Quando isso ocorrer temos somente uma condição: