3. A figura dada mostra uma rede viária de ruas de mão única com fluxo de tráfego nos sentidos indicados. As taxas de fluxo ao longo das ruas são medidas pelo número de veículos por hora.

(a) Monte um sistema linear cuja solução forneça as taxas de fluxo desconhecidas.

(b) Resolva o sitema para as taxas de fluxo desconhecidas.

(c) Se o fluxo ao longo da rua A para B precisar ser reduzido em virtude de uma obra, qual será o fluxo mínimo necessário para manter o tráfego fluindo em todas as ruas?.

(b)

Para resolver o sistema precisamos escalonar essa matriz.

Trocando a primeira com a terceira linha:

Trocando a terceira com a segunda linha:

Somando a primeira linha na quarta:

Somando a segunda linha na quarta:

Somando a terceira linha na quarta:

Agora, com o sistema escalonado, podemos reescrever na forma de equações e ir resolvendo de baixo para cima:

Vamos começar definindo a variável livre:

Dessa forma:

Indo para a segunda equação:

E por fim, a primeira equação:

Então a solução do sistema é a seguinte:

Onde , pois se fosse menor que 500 existiria um fluxo negativo, o que não pode acontecer, pois as ruas são de mão unica.

(c)

Sabemos que o fluxo de A para B é representado por

E sabemos que o valor mínimo que ele pode assumir é 500 pois se for menor que isso existira fluxo negativo em alguma outra rua.