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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 17

Nos Exerícios 15-18, encontre os autovalores e as bases dos autoespaços de A.

A = 5 1 - 2 3

Passo 1

Primeiro vamos encontrar os autovalores. Para isso vamos calcular o determinante abaixo:

λ - 5 - 1 2 λ - 3 = 0

Calculando o determinante:

λ - 5 λ - 3 - - 1 ⋅ 2 = 0

λ 2 - 8 λ + 17 = 0

Vamos resolver a equação utilizando a Fórmula de Bhaskara:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = 8 ± ( - 8 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 17 2 ⋅ 1

λ = 8 ± - 4 2

Resolvendo a equação de segundo grau, encontramos os autovalores da matriz.

λ = 4 ± i

Passo 2

Vamos aplicar os autovalores na para encontrar os autovetores:

λ - 5 - 1 2 λ - 3 x 1 x 2 = 0 0

Para λ 1 = 4 - i :

- 1 - i - 1 2 1 - i x 1 x 2 = 0 0

Vamos aplicar a eliminação de Gauss Jordan:

- ( 1 + i ) - 1 2 1 - i 0 0  

Perceba que se multiplicarmos a primeira linha por ( 1 - i ) ela vai se tornar um múltiplo escalar da segunda linha.

- ( 1 + i ) ( 1 - i ) - 1 2 ( 1 - i ) 1 - i 0 0   ⇒ - 2 - 1 2 ( 1 - i ) 1 - i 0 0  

Então poderemos zerar a primeira linha:

0 - 1 0 1 - i 0 0  

Chegamos em:

- x 1 + 1 - i x 2 = 0

Vamos chamar x 2 de um valor t , então:

x 2 = t

- x 1 + 1 - i t = 0 ⇒ x 1 = ( 1 - i ) ⋅ t

Logo, o autovetor associado é:

x → 1 = 1 - i 1 t

Passo 3

Para λ 2 = 4 + i :

Note o seguinte, os autovalores são conjugados entre si. Isso nos permite afirmar que os autovetores também serão conjugados:

x → 2 = x → 1 - = 1 + i 1 t

Resposta

λ 1 = 4 - i λ 2 = 4 + i x 1 → = 1 - i 1 t x → 2 = 1 + i 1 t

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