Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 20
Nos exercícios de 19-22, cada matrix C tem a forma (15). O Teorema 5.3.7 implica que C é o produto de uma matriz de contração ou dilatação de fator pela matriz de rotação de ângulo . Encontre e o ângulo tal que
Passo 1
O Teorema 5.3.7 diz que para uma matriz do formato: os autovalores da matriz são:
E que a matriz pode ser fatorada como:
Mas se a gente fizer o produto matricial, vamos chegar em:
O que implica dizer que:
Vamos aplicar isso na matriz dada pela questão:
Passo 2
A questão nos dá a seguinte matriz:
Ou seja:
Pelo Teorema 5.3.7 os autovalores dessa matriz são:
Então o valor absoluto dos autovalores serão:
Passo 3
E para calcular o ângulo vamos usar as seguintes relações:
Vamos aplicar os valores:
Logo:
Resposta
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