Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade ( g) determinou-se que:

1. O alimento I tem unidade de vitamina A, unidades de vitamina B e unidades de vitamina C.
2. O alimento II tem , e unidades respectivamente, das vitaminas A. B e C.
3. O alimento III tem unidades de vitaminas A, unidades de vitamina C e não contém vitamina B.

Se são necessárias unidades de vitamina A, de vitamina B e de vitamina ,

1. Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem a quantidade de vitaminas desejada.
2. Se o alimento I custa centavos por grama e os outros dois custam , existe uma solução custando exatamente Cr$ ?

Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema, é bem simples:

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

Primeiro fazendo :

Agora :

Fazendo :

Aqui vamos fazer :

E agora por último :

Pronto, agora tá simples, achamos que:

Vamos isolar os termos agora:

Essas quantidades de alimentos são números naturais (0,1,2,...), já que não tem como ter -2 alimentos hahaha

Primeiro temos que impor que , e . Assim, olhando as nossas condições

E a segunda condição

Assim combinando essas condições, ficamos com

Que podemos rescrever como

E o único natural nesse intervalo é . Então o nosso sistema só admite uma solução nos números naturais!

Como

Show? :D

b)

O enunciado diz que o alimento I custa centavos por grama e os outros dois custam centavos. Como temos só uma solução, só temos um gasto possível que será

Que dá exatamente 100 centavos = 1 real (ou seja lá que moeda é essa do exercício haha).

Então a resposta da b) é sim: existe uma solução que custa exatamente 100 centavos ^^