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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 19

Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos termos independentes, b i , são todos nulos.

  1. Um sistema homogêneo admite pelo menos uma equação. Qual é ela?
  2. Encontre os valore de k ∈ R , tais que o sistema homogêneo

2 x - 5 y + 2 z = 0 x + y + z = 0 2 x + k z = 0

tenha uma solução distinta da solução trivial x = y = z = 0 .

Passo 1

  1. Uma solução para todo sistema homogêneo é a solução trivial, x i = 0 .

    2. Passo 2

  2. Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema:

2 - 5 2 1 1 1 2 0 k         0 0 0

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

Primeiro fazendo L 1 = 1 2 L 1 :

1 - 5 2 1 1 1 1 2 0 k         0 0 0

Agora fazendo L 2 = - L 1 + L 2 :

1 - 5 2 1 0 7 2 0 2 0 k         0 0 0

Aqui vamos fazer L 3 = - 2 L 1 + L 3 :

1 - 5 2 1 0 7 2 0 0 5 k - 2         0 0 0

Agora L 2 = 2 7 L 2 :

1 - 5 2 1 0 1 0 0 5 k - 2         0 0 0

E por último L 3 = - 5 L 2 + L 3 :

1 - 5 2 1 0 1 0 0 0 k - 2         0 0 0

Para o sistema ter uma solução distinta da solução trivial temos que ter que a igualdade da última linha, que contém k seja igual verdadeira, assim:

k - 2 = 0 → k = 2

Resposta

  1. x i = 0
  2. k = 2
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