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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 23c

Faça o balanceamento das reações:

(N H_4) C O_3 -> N H_3 + H_2 O + C O_2

Passo 1

A quantidade de N , H , C e O em ambos os lados não é a mesma, vamos colocar os coeficientes estequiométricas dessa forma:

x (N H_4)_2 C O_3 -> y N H_3 + z H_2 O + w C O_2

Vamos montar o sistema:

{[[2 x = y],[8 x = 3 y + 2 z],[x = w],[3 x = z + 2 w]] -> [[2 x - y = 0],[8 x - 3 y - 2 z = 0],[x - w = 0],[3 x - z - 2 w = 0]])

Primeiro vamos escrever a matriz ampliada associada ao sistema:

[[[2,-,1,0],[8,-,3,-,2],[[[1],[3]],[[0],[0]],[[0],[-,1]]]] [[0,0],[0,0],[[[-,1],[-,2]],[[0],[0]]]]]

Passo 2

Vamos lá, agora vamos usar as operações de multiplicação e soma da matriz para reduzir a matriz à forma escada:

Primeiro fazendo L_1 = (1)/(2) L_1 :

[[[1,-,(1)/(2),0],[8,-,3,-,2],[[[1],[3]],[[0],[0]],[[0],[-,1]]]] [[0,0],[0,0],[[[-,1],[-,2]],[[0],[0]]]]]

Agora fazendo L_2 = - 8 L_1 + L_2 :

[[[1,-,(1)/(2),0],[0,1,-,2],[[[1],[3]],[[0],[0]],[[0],[-,1]]]] [[0,0],[0,0],[[[-,1],[-,2]],[[0],[0]]]]]

Aqui vamos fazer L_3 = - L_1 + L_3 :

[[[1,-,(1)/(2),0],[0,1,-,2],[[[0],[3]],[[(1)/(2)],[0]],[[0],[-,1]]]] [[0,0],[0,0],[[[-,1],[-,2]],[[0],[0]]]]]

Agora L_4 = - 3 L_1 + L_4 :

[[[1,-,(1)/(2),0],[0,1,-,2],[[[0],[0]],[[(1)/(2)],[(3)/(2)]],[[0],[-,1]]]] [[0,0],[0,0],[[[-,1],[-,2]],[[0],[0]]]]]

Vamos fazer L_3 = - (1)/(2) L_2 + L_3 :

[[[1,-,(1)/(2),0],[0,1,-,2],[[[0],[0]],[[0],[(3)/(2)]],[[1],[-,1]]]] [[0,0],[0,0],[[[-,1],[-,2]],[[0],[0]]]]]

Agora L_4 = - (3)/(2) L_2 + L_4 :

[[[1,-,(1)/(2),0],[0,1,-,2],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[1],[2]]]] [[0,0],[0,0],[[[-,1],[-,2]],[[0],[0]]]]]

Calma que tá acabando, fazendo L_4 = - 2 L_3 + L_4 :

[[[1,-,(1)/(2),0],[0,1,-,2],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[1],[0]]]] [[0,0],[0,0],[[[-,1],[0]],[[0],[0]]]]]

Aqui vamos fazer L_2 = 2 L_3 + L_2 :

[[[1,-,(1)/(2),0],[0,1,0],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[1],[0]]]] [[0,0],[-,2,0],[[[-,1],[0]],[[0],[0]]]]]

Por último L_1 = (1)/(2) L_2 + L_1 :

[[[1,0,0],[0,1,0],[[[0],[0]],[[0],[0]],[[1],[0]]]] [[-,1,0],[-,2,0],[[[-,1],[0]],[[0],[0]]]]]

Passo 3

Vamos ter então o sistema:

{[[x - w = 0],[y - 2 w = 0],[z - w = 0],[w = lambda]]) -> {[[x = lambda],[y = 2 lambda],[z = lambda],[w = lambda]])

Vamos pegar o menor valor possível de lambda para fazer o balanceamento:

w = lambda = 1

z = lambda = 1

y = 2 lambda = 2

x = lambda = 1

Assim ficamos com:

(N H_4)_2 C O_3 -> 2 N H_3 + H_2 O + C O_2

Resposta

(N H_4)_2 C O_3 -> 2 N H_3 + H_2 O + C O_2

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