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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 9 j

Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

Passo 1

Falaaaaaa aí!!!! Tudo bem?

Bora matar mais essa?

Então, a primeira coisa que vamos precisar é identificar a nossa superfície, que depois tudo se resolve. Mas aí, você pode me perguntar como eu vou saber quem é quem???

Fica tranquilo, que o segredo é o seguinte, vamos expressar as equações na sua forma reduzida, e depois vamos conferir no conteúdo Superfícies e Quádricas qual equação dará match com a nossa.

Passo 2

Vamos escrever nossa equação:

x 2 + y 2 - 4 x - 6 y - z + 12 = 0

Podemos subtrair 1 2 de cada lado:

x 2 + y 2 - 4 x - 6 y - z = - 12

Reorganizando, temos:

x 2 - 4 x + y 2 - 6 y - z = - 12

Vamos colocar uns parênteses separando nossas incógnitas para nos ajudar:

x 2 - 4 x + y 2 - 6 y - z = - 12

Temos x 2 e y 2 , podemos tentar completar os pararênteses para voltar na forma produtos notáveis, vamos chamar esses complementos de a e b .

Ahhhh, mas vamos lembrar que o que colocamos do lado esquerdo precisamos colocar no direito:

x 2 - 4 x + a 2 + y 2 - 6 y + b 2 - z = - 12 + a 2 + b 2

Seguindo a solução de um produto notável, temos que:

x ± c 2 = x 2 ± 2 x c + c 2

Agora vamos analisar cada parentesê separado.

Para x :

x 2 - 4 x + a 2 = y - a 2

- 4 x = 2 a x

a = - 2

Para y :

y 2 - 6 y + b 2 = x - b 2

- 6 y = 2 b y

b = - 3

Voltando para nossa equação:

x 2 - 4 x + a 2 + y 2 - 6 y + b 2 - z = - 12 + a 2 + b 2

Vamos substituir nosso valor de a e b :

x 2 - 4 x + - 2 2 + y 2 - 6 y + - 3 2 - z = - 12 + - 2 2 + - 3 2

x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 6 y + 9 - z = - 12 + 4 + 9

x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 6 y + 9 - z = 1

Agora só precisamos escrever na forma de produtos notáveis:

x - 2 2 + y - 3 2 - z = 1

Mas ainda não encontramos nosso match, então precisamos mudar algo na equação. Vamos comar z de ambos os lados:

x - 2 2 + y - 3 2 = z + 1

Agora sim, temos uma equação parecida que nos lembra uma das equações do paraboloide elíptico (vou colocar as equações do paraboloide elíptico para relembrarmos):

x 2 a 2 + y 2 b 2 = c z ou x 2 a 2 + z 2 c 2 = b y ou y 2 b 2 + z 2 c 2 = a x

Então:

Passo 3

Agora vamos identificar o centro:

C = 2,3 , - 1

Arrasamos!!!!!!

Bora para mais uma questão?

Resposta

Paraboloide elíptico, com centro 2,3 , - 1 , eixo paralelo a O z

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Prove que, se a ,b ,c não são todos iguais, a equação x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 + z - l 2 c 2 = 1 descreve um hiperboloide.
Prove que a quádrica Ω :- x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 é um hiperboloide de uma folha. Faça um esboço.
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y
Para cada uma das equações abaixo, efetue uma rotação de eixos de modo a eliminar os termos em x y ,x z ,y z . Em seguida, efetue translações de modo a eliminar, ou reduzir a um só, os termos em x, y