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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 10

O traço de um elipsoide (centro na origem) no plano x y é a elipse x 2 + y 2 4 = 1 , z = 0 .

Determinar a equação do elipsoide, sabendo que contém o ponto 0,1 , 6 .

Passo 1

Falaaaaaa aí!!!! Tudo bem?

Bora matar mais essa?

Então, a primeira coisa que vamos precisar é escrever a equação da elipse:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Para achar a equação do elipsoide precisamos achar a 2 , b 2 e c 2 .

Como o exercício deu z = 0 :

x 2 a 2 + y 2 b 2 + 0 2 c 2 = 1

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

E como o exercício deu que essa interseção é a elipse:

x 2 + y 2 4 = 1

Podemos dizer que:

a 2 = 1 e b 2 = 4

Mas não temos c 2 .

Passo 2

Precisamos do c 2 , para isso vamos usar o ponto 0,1 , 6 e por meio da equação que escrevemos no início, subsituimos e conseguimos achar. Saca só como fica:

0 2 1 + 1 2 4 + 6 2 c 2 = 1

1 4 + 6 c 2 = 1

Vamos multiplicar toda equação por 4 :

1 + 24 c 2 = 4

Vamos subtrair 1 de cada lado:

24 c 2 = 4 - 1

24 c 2 = 3

Multiplicando toda equação por c 2 :

24 = 3 c 2

E dividindo toda equação por 3 , temos:

c 2 = 8

Passo 3

Agora só precisamos substituir os valores de a 2 , b 2 e c 2 em:

x 2 1 + y 2 4 + z 2 8 = 1

Arrasamos!!!!!!

Bora para mais uma questão?

Resposta

x 2 1 + y 2 4 + z 2 8 = 1

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Os hiperboloides de equações x 2 / a 2 + y 2 / a 2 - z 2 / c 2 = 1 e - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 a 2 = 1 são chamados hiperboloides de rotação. Por que?
Se a = b ≠ c ou a = c ≠ b , ou b = c ≠ a , o elipsoide Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 é chamado de elipsoide de rotação. Dê uma explicação intuitiva para isso.
Prove que a equação dada descreve um hiperboloide, classifique-o quanto ao número de folhas e escreva uma equação vetorial de seu eixo distinguido. Determine seus vértices, se for o caso. x - h 2 a 2
Quais os seguintes objetos não podem ser associados a elipsoides, pelo aspecto da sua superfície externa?Um ovo. Uma bola de rugby. Uma câmera de ar. Uma bola de futebol. Um charuto.
Identifique, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que d X , A + d X , B = m . A = 1 ,0,0 B = - 1 ,0 ,0 m = 2 . A = 2,0 , 2 B = 2,0 , 0 m = 1 .