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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 9 g

Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

Passo 1

Falaaaaaa aí!!!! Tudo bem?

Bora matar mais essa?

Então, a primeira coisa que vamos precisar é identificar a nossa superfície, que depois tudo se resolve. Mas aí, você pode me perguntar como eu vou saber quem é quem???

Fica tranquilo, que o segredo é o seguinte, vamos expressar as equações na sua forma reduzida, e depois vamos conferir no conteúdo Superfícies e Quádricas qual equação dará match com a nossa.

Passo 2

Vamos escrever nossa equação:

6 x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 + 24 x - 6 y - 12 z + 39 = 0

Podemos subtrair 39 de cada lado:

6 x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 + 24 x - 6 y - 12 z = - 39

Reorganizando, temos:

6 x 2 + 24 x + 3 y 2 - 6 y + 2 z 2 - 12 z = - 39

Vamos colocar uns parênteses separando nossas incógnitas para nos ajudar:

6 x 2 + 24 x + 3 y 2 - 6 y + 2 z 2 - 12 z = - 39

Reorganizando:

6 x 2 + 4 x + 3 y 2 - 2 y + 2 z 2 - 6 z = - 39

Temos x 2 , y 2 e z 2 , podemos tentar completar os pararênteses para voltar na forma produtos notáveis, vamos chamar esses complementos de a , b e c .

Ahhhh, mas vamos lembrar que o que colocamos do lado esquerdo precisamos colocar no direito:

6 x 2 + 4 x + a 2 + 3 y 2 - 2 y + b 2 + 2 z 2 - 6 z + c 2 = - 39 + 6 a 2 + 3 b 2 + 2 c 2

Seguindo a solução de um produto notável, temos que:

x ± c 2 = x 2 ± 2 x c + c 2

Agora vamos analisar cada parentesê separado.

Para x :

x 2 + 4 x + a 2 = x + a 2

4 x = 2 a x

a = 2

Para y :

y 2 - 2 y + b 2 = x - b 2

- 2 y = 2 b y

b = - 1

Para z :

z 2 - 6 z + c 2 = x - c 2

- 6 z = 2 c y

c = - 3

Voltando para nossa equação:

6 x 2 + 4 x + a 2 + 3 y 2 - 2 y + b 2 + 2 z 2 - 6 z + c 2 = - 39 + 6 a 2 + 3 b 2 + 2 c 2

Vamos substituir nosso valor de a , b e c :

6 x 2 + 4 x + 2 2 + 3 y 2 - 2 y + - 1 2 + 2 z 2 - 6 z + - 3 2 = - 39 + 6 ∙ 2 2 + 3 - 1 2 + 2 - 3 2

6 x 2 + 4 x + 4 + 3 y 2 - 2 y + 1 + 2 z 2 - 6 z + 9 = - 39 + 24 + 3 + 18

6 x 2 + 4 x + 4 + 3 y 2 - 2 y + 1 + 2 z 2 - 6 z + 9 = 6

Agora só precisamos escrever na forma de produtos notáveis:

6 x + 2 2 + 3 y - 1 2 + 2 z - 3 2 = 6

Vamos dividir toda a equação por 6 :

6 x + 2 2 6 + 3 y - 1 2 6 + 2 z - 3 2 6 = 6 6

x + 2 2 1 + y - 1 2 2 + z - 3 2 3 = 1

Essa equação reduzida nos lembra a equação do elipsóide:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Então:

Passo 3

Agora vamos identificar o centro C . O centro será os valores que zeram o lado direito, então:

C = - 2,1 , 3

Arrasamos!!!!!!

Agora faltam apenas três, bora resolve-las?

Resposta

Elipsóide, com centro - 2,1 , 3 e eixo O z

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