Enunciado

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 2 x 2 - 4 x y - y 2 = - 24

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da cônica tiramos que:

a = 2

b =   - 4

c = - 1

Portanto:

A =   a b 2 b 2 c = 2 - 2 - 2 - 1

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 2 = 2 - λ - 2 - 2 - 1 - λ = λ 2 - λ - 6

λ 2 - λ - 6 = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = - 2

λ 2 = 3

Passo 3

Para determinarmos os vetores U   e   T .

Precisamos que:

A + 2 I 2 X   = 0 →

4 - 2 - 2 1 x y = 0 0

4 x - 2 y = 0

4 x = 2 y

2 x = y

Solução Geral:

W = α , 2 α ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de w vale 1:

W = 1

W 2 = 1

α 2 + 4 α 2 = 1

α =   ± 1 5

Assim, os eixos deslocados são expressos por:

U = 1 5 , 2 5

T = ( - 2 5 , 1 5 )

P = U , T = 1 5 - 2 5 2 5 1 5

Passo 5

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa cônica:

∁ : 2 x 2 - 4 x y - y 2 = - 24 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1 2 = - 24

∁ : - 2 x 1 2 + 3 y 1 2 = - 24 ( ÷ - 24 )

∁ : 1 12 x 1 2 - 1 8 y 1 2 = 1

Equação de uma hipérbole.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

∁ : 1 12 x 1 2 - 1 8 y 1 2 = 1

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