Enunciado

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 4 x 2 - 20 x y + 25 y 2 - 15 x - 6 y = 0

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da cônica tiramos que:

a = 4

b =   - 20

c = 25

e = - 15

f =   - 6

Portanto:

A =   a b 2 b 2 c = 4 - 10 - 10 25

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 2 = 4 - λ - 10 - 10 25 - λ = λ 2 - 34 λ + 264

λ 2 - 29 λ = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 0

λ 2 = 2 9

Passo 3

Para determinarmos os vetores U   e   T .

Precisamos que:

A - 0 I 2 X   = 0 →

4 - 10 - 10 25 x y = 0 0

4 x - 10 y = 0

2 x = 5 y

Solução Geral:

W = 5 α , 2 α ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de w vale 1:

W = 1

W 2 = 1

25 α 2 + 4 α 2 = 1

α =   ± 1 29

Assim, os eixos deslocados são expressos por:

U = 5 29 , 2 29

T = ( - 2 29 , 5 29 )

P = U , T = 5 29 - 2 29 2 29 5 29

Passo 5

e , f   x   P =   e 1 , f 1

- 15 - 6 x 5 29 - 2 29 2 29 5 29 = e 1 , f 1

e 1 , f 1 = [ - 3 29 , 0 ]

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa cônica:

∁ : 4 x 2 - 20 x y + 25 y 2 - 15 x - 6 y = 0 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + e 1 x 1 + f 1 y 1 = 0

∁ : 29 y 1   2 - 3 29 x 1 = 0

∁ : y 1   2 = 3 29 29 x 1

Equação de uma parábola.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

∁ : y 1   2 = 3 29 29 x 1

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