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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.2 - Ex. 7

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 5 x 2 - 6 x y + 5 y 2 - 30 2 x + 1 8 2 y = - 82

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da cônica tiramos que:

a = 5

b =   - 6

c = 5

e = - 30 2

f =   1 8 2

Portanto:

A =   a b 2 b 2 c = 5 - 3 - 3 5

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 2 = 5 - λ - 3 - 3 5 - λ = λ 2 - 10 λ + 16

λ 2 - 10 λ + 16 = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 2

λ 2 = 8

Passo 3

Para determinarmos os vetores U   e   T .

Precisamos que:

A - 2 I 2 X   = 0 →

3 - 3 - 3 3 x y = 0 0

3 x - 3 y = 0

x = y

Solução Geral:

W = α , α ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de w vale 1:

W = 1

W 2 = 1

α 2 + α 2 = 1

α =   ± 1 2

Assim, os eixos deslocados são expressos por:

U = 1 2 , 1 2

T = ( - 1 2 , 1 2 )

P = U , T = 1 2 - 1 2 1 2 1 2

Passo 5

e , f   x   P =   e 1 , f 1

- 30 2 1 8 2 x 1 2 - 1 2 1 2 1 2 = e 1 , f 1

e 1 , f 1 = [ - 12 ,   48 ]

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa cônica:

∁ : 5 x 2 - 6 x y + 5 y 2 - 30 2 x + 18 2 y = - 82 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1   2 + e 1 x 1 + f 1 y 1 = - 82

∁ : 2 x 1 2 + 8 y 1   2 - 12 x 1 + 48 y 1 = - 82 ( ÷ - 82 )

∁ : - 1 41 x 1 2 - 4 41 y 1   2 + 6 41 x 1 - 24 41 y 1 = 1

Equação de uma elipse.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

∁ : - 1 41 x 1 2 - 4 41 y 1   2 + 6 41 x 1 - 24 41 y 1 = 1

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